机器故障概率与期望利润：一周生产计划分析

在《概率论与数理统计》的这份A卷中，包含了多个与概率论和随机过程相关的题目，涵盖了不同的实际问题情境。以下是各个部分的主要知识点： 第三题（10分）：这是一个典型的离散概率问题，考察了机器故障的随机性。假定机器每天发生故障的概率为0.2，机器故障会导致全天停机。一周有5个工作日，当一周内无故障时，可获得10万元利润。而每发生一次故障，利润分别为5万元、0元和亏损2万元。要计算的是期望利润，需要考虑各种可能故障情况的概率分布及其对应的收益。 第四题（15分）：涉及联合分布和边缘概率。随机变量X和Y的联合密度在三角形区域内服从均匀分布，要求解关于X的边缘密度，即仅考虑X的分布；计算X和Y的协方差，这是衡量两个随机变量之间线性关系的度量；以及随机变量本身的方差，这是衡量随机变量变异性的指标。 第五题（12分）：目标射击问题，涉及二维随机变量的分布。命中环形区域的概率需要考虑命中点的横纵坐标独立且服从特定分布，计算命中特定区域的概率；同时，还要计算命中点到目标中心的距离的数学期望。 第六题（10分）：电子器件寿命的估计问题，通过抽样理论来确定样本大小，使得样本均值的估计误差满足特定标准，即达到某个置信水平下的精度。 第七题（10分）：包含两个统计推断问题。第一个是关于样本均值的置信区间，使用样本均值和方差计算；第二个是假设总体服从正态分布，检验样本数据是否支持这一假设，用到了显著性检验。 第八题（21分）：这是一道参数估计题，涉及到总体的概率密度函数中的参数估计。利用样本数据计算总体分布函数，并基于样本信息估计参数。 这份试题涵盖了概率分布、随机变量的联合分布、边缘分布、协方差、置信区间估计、参数估计等多个重要的概率论和数理统计概念，旨在考查学生的理论知识运用和问题解决能力。考生需要熟练掌握这些知识点，并能灵活运用到具体问题中进行计算和分析。