计蒜客信息学CSP-S复赛模拟赛题解与最长上升子树链解法

"计蒜客信息学10月CSP-S组复赛模拟赛题解" 在本次模拟赛的题解中，我们关注两道题目：数数题解和最长上升子树链题解。 首先，数数题解涉及到对数组进行预处理，以快速响应特定类型的询问。题目给出的代码使用了动态规划的方法来处理问题。核心在于，对于每个元素，计算其所有倍数，并存储这些倍数的位置。当处理到某个元素时，检查它是否已被标记（即它的倍数是否已经计算过），如果没有，则标记所有它的倍数，并更新答案数组。在回答询问时，如果答案位于已处理过的数的右侧，直接查找即可。由于这种方法可能导致不必要的遍历，因此需要在标记倍数之前检查当前数字是否已被标记，以确保算法的复杂度在可接受范围内。给出的代码中，`vis[]`数组用于标记已经处理过的元素，`ans[]`数组存储每个元素的正确答案位置。 接下来是最长上升子树链题解，这是一个与图论和动态规划相关的题目。问题要求找到以特定节点为根的子树中，最长的上升路径。这里采用了类似于经典的LIS（Longest Increasing Subsequence）的思路，但应用在树结构上。每个节点的值表示其在路径上的权重。定义`dp[u]`为以节点`u`为结束点的最长上升子树链的长度，`f[u]`为以节点`u`为根的子树中，最长上升子树链的最大起始节点。可以使用动态规划和线段树的数据结构来高效地维护这些值。线段树允许我们在常数时间内更新和查询子区间内的最大值，这使得我们能快速找到以某个节点为起点的最长上升子树链。在计算每个节点的`dp`值时，我们需要找到子树中最大且小于当前节点的`dp`值，而对于`f`值，我们要找的是子树中最大且小于当前节点的`f`值。最终，答案就是所有节点的`dp`值中的最大值。这个算法的时间复杂度为O(n log n)，其中n是树的节点数量。 总结起来，这两道题都展示了在信息学竞赛中常见的问题解决策略，包括预处理、动态规划和利用数据结构优化查询。数数题强调了如何有效地处理倍数关系，而最长上升子树链题则探讨了如何在树结构中寻找最长路径，同时利用了线段树这一工具来提高效率。对于准备CSP-S比赛的选手来说，理解和掌握这些技巧是非常重要的。