递推算法解题策略：最小粉刷成本问题

"这篇文档是关于递推算法和解题策略的讲解，主要涉及两个问题：粉刷房子问题和杨辉三角形问题。在粉刷房子问题中，我们需要找到粉刷一排房子的最低成本，使得相邻的房子颜色不相同。在杨辉三角形问题中，讨论了如何使用滚动数组计算每个位置上的元素。" 正文: 递推算法是一种解决问题的方法，它通过定义一个初始状态和一系列的递推关系来逐步得到问题的解。在给定的文档中，递推算法被用于解决两个具体的问题。 首先，我们来看"粉刷房子"问题。这是一个典型的动态规划（Dynamic Programming, DP）问题。问题的核心是找到每个房子粉刷成不同颜色的最低总成本，同时保证相邻房子的颜色不同。这个问题可以通过构造一个二维数组`dp`来解决，其中`dp[i][j]`表示第`i`个房子涂成颜色`j`的最小成本。初始化`dp[0][0]`, `dp[0][1]`, `dp[0][2]`为第一排房子的成本，然后对于后续每一排房子，`dp[i][j]`的值由上一行的两个相邻颜色的最小成本加上当前房子颜色`j`的成本计算得出。最后，从`dp[n-1][0]`, `dp[n-1][1]`, `dp[n-1][2]`这三个值中选择最小的一个作为答案。 以下是问题的代码实现： ```javascript var minCost = function(costs) { let n = costs.length; let dp = new Array(n); for (let i = 0; i < dp.length; i++) dp[i] = new Array(3); dp[0][0] = costs[0][0], dp[0][1] = costs[0][1], dp[0][2] = costs[0][2]; for (let i = 1; i < n; i++) { dp[i][0] = Math.min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]) + costs[i][0]; dp[i][1] = Math.min(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2]) + costs[i][1]; dp[i][2] = Math.min(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0]) + costs[i][2]; } return Math.min(Math.min(dp[n - 1][0], dp[n - 1][1]), dp[n - 1][2]); } ``` 在这个例子中，我们利用了动态规划的特性，即子问题的解可以用来构建原问题的解，从而避免了重复计算，提高了效率。 接下来是"杨辉三角形"问题，也称为帕斯卡三角形。这是一个经典的数学结构，在每个位置的值由其上方两个相邻位置的值相加得到。在问题的描述中，我们看到外层循环用于遍历每一行，而内层循环则用于计算当前位置的值。为了节省空间，可以使用滚动数组（Rolling Array）策略，即复用一维数组`res`来存储当前行的值，而不是为每行创建新的数组。通过这种方式，我们可以有效地计算出每个位置的元素，然后返回结果。 递推算法在处理这类具有重叠子问题和最优子结构的问题时特别有效。无论是粉刷房子还是杨辉三角形，它们都展示了如何通过定义状态转移方程和利用已计算的子问题结果来高效地解决问题。递推算法的应用广泛，不仅在计算机科学中，也在数学、物理等多个领域都有重要应用。理解和掌握递推算法及其解题策略对于提升编程能力和解决实际问题能力至关重要。