图的概念与存储：无向图、有向图与加权图解析

"本文介绍了图的基本概念，包括图的定义、节点、边、节点的度数、简单图的概念，以及图的路径、连通性、相交路径等基本概念。文章还简要提及了图的分类，如无向图、有向图、无权图、加权图、稀疏图和稠密图，并提到了一些特殊形态的图，如完全图、补图、树和森林等。" 图论是数学的一个分支，主要研究图的结构和性质。在图论中，图G是由节点集V和边集E组成的二元组，表示为G=(V,E)，它描述了V中节点之间的相互关系。节点，或称顶点，通常用整数1到n标记。边可以是无序数对（u，v），表示节点u和v之间的连接，也可以写作u-v。节点的度数是指与其相连的边的数量。在无自环和重边的图中，即简单图，任何一对节点最多由一条边相连。 图的路径是节点序列，其中相邻节点是邻接的。简单路径不允许节点和边的重复，而圈（环或回路）则允许起点和终点相同但其他节点和边不重复。如果图中任意两点间都有路径，那么它是连通图，否则是非连通图，后者可以分为若干个互不相交的连通分量。 无向图是指边没有方向的图，任意边（a，b）存在，其反向边（b，a）也一定存在。相反，有向图的边是有序的，比如（u，v），表示从u指向v的有向边。无权图是没有附加权重的图，而加权图则为边或节点赋予特定的值，如距离或成本。 图的类型多样，可以是无向图或有向图，无权图或加权图。此外，还有更具体的类别，如完全图，其中任意两个不同的节点间都有边相连；补图是原图中不存在边的两节点在补图中都有一条边；树和森林是特殊的图形式，其中没有环且满足特定的连接条件；生成树和生成森林是树形结构的子集，保持原图的连通性；平面图是可以不相交地绘制在平面上的图；二分图的节点可以分为两个互不相交的集合，边只连接不同集合的节点；相交图和区间图则是基于节点间特定关系的图类型。 理解这些基本概念对于深入研究图论和应用图论解决实际问题，如网络分析、数据结构设计、最短路径计算、社交网络分析等至关重要。通过这些基础知识，我们可以构建和分析复杂系统中各元素之间的关系，从而提供解决问题的有效途径。