2010考研高数基础解析：函数与初等函数

"这是一份2010年的考研高等数学基础讲义，涵盖了函数、极限、连续等基础知识，包括函数的定义、分段函数、隐函数、反函数以及基本初等函数的介绍，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。此外，还涉及了复合函数和初等函数的概念，以及函数的有界性等性质。" 高等数学是数学学科中的核心部分，对于考研的学生来说，理解和掌握这些基础知识至关重要。首先，讲解了函数的基本概念，包括函数的定义，指出函数是由一个非空实数集D上的对应规划f，使得每个x都能唯一对应一个实数y。分段函数则是当自变量取不同值时，函数表达式不同的特殊情况，需要注意分段点处的极限、连续性和导数的处理。 接着，引入了隐函数和反函数的概念。隐函数是通过方程F(x, y) = 0来定义的，而反函数则是通过解方程y = f(x)得到的，只有当函数y=f(x)为单值时，才存在反函数。基本初等函数是后续学习的基础，包括常值函数、幂函数、指数函数（包含自然指数函数）、对数函数（包括常用对数和自然对数）、三角函数和反三角函数。理解这些函数的性质和图像对于解决各种数学问题至关重要。 复合函数和初等函数的概念进一步扩展了函数的范畴。复合函数是将两个或多个函数结合在一起，其中一个函数的输出成为另一个函数的输入。而初等函数是通过基本初等函数的有限次组合得到的，可以用一个分析表达式表示。 最后，提到了函数的有界性，即存在一个正数M，使得函数值的绝对值不超过这个M，这是函数的一个基本性质，对于分析函数的行为和求解问题具有重要意义。 在准备考研的过程中，深入理解并熟练应用这些知识点是必不可少的。这份讲义不仅总结了概念，还包含了一些考研常考的习题，是复习高等数学的好资料。