南航研究生双语矩阵论教程：向量空间与线性映射

"这是一份由南京航空航天大学教授曹荣美编写的双语矩阵论课程讲义，用于研究生国际化教学。内容涵盖了向量空间、线性映射理论、矩阵分析及计算理论，旨在为工科研究生提供研究工作的数学基础。" 在矩阵论中，向量空间和线性映射理论是核心内容。向量空间是代数学的基本构造，它定义了一组元素（向量）集合，这些元素可以在一定的规则下加法和标量乘法。向量空间的公理包括加法交换律、加法结合律、零向量的存在、加法逆元的存在、标量乘法的分配律等。理解向量空间的基本性质对于后续学习至关重要，因为它为其他数学概念如线性映射、特征值和特征向量提供了背景。 线性映射是将一个向量空间映射到另一个向量空间的函数，保持向量的加法和标量乘法结构。这一理论在工程、物理和计算机科学等领域有广泛应用，比如在求解线性系统、描述动态系统和图像处理等问题时。 特征值和特征向量是线性映射的重要特性，它们描述了映射如何影响特定向量。特征值是映射作用下向量长度的变化因子，而特征向量则是对应于特定特征值的向量。这些概念在谱理论、稳定性分析和数据处理中起到关键作用。 讲义的第二部分深入到矩阵分析和计算理论，这部分包括若当标准型、矩阵分解、矩阵范数、厄米特二次型和广义逆矩阵等主题。若当标准型是线性映射的一种特殊形式，有助于理解和简化矩阵运算。矩阵分解如QR分解、LU分解和SVD分解是数值计算中的重要工具，它们在求解线性方程组、优化问题和信号处理中有广泛的应用。矩阵范数则衡量矩阵的大小或强度，对于矩阵的稳定性和误差分析至关重要。厄米特二次型涉及复向量空间上的内积和对称矩阵，而广义逆矩阵解决了矩阵乘法不兼容问题，使得不完全秩的矩阵也可以进行类似逆运算的操作。 在阅读和学习这份讲义时，需要具备"线性代数"的基本知识，包括行列式理论、线性方程组的解法、矩阵代数以及特征值和特征向量的基本理论。通过由直观至抽象、由具体至一般的讲解方式，以及结合几何思考，这份讲义旨在帮助读者深入理解矩阵论的抽象概念，并提供实际应用的数学工具。同时，作者强调了错误反馈的重要性，鼓励读者积极参与和指正，以共同提升教材质量。