高等概率论：离散鞅与随机过程

"高等概率论 - 程士宏 编.pdf" 《高等概率论》是程士宏编著的一本概率论领域的高级教材，属于天元研究生数学丛书中的一部。这本书主要涵盖了概率论的基础理论和一些重要的现代概率论概念，特别是离散鞅的深入研究。全书分为五章，内容丰富且深入，旨在帮助读者从基础概率论过渡到更高级的概率论研究。 第一章除了介绍概率论的基本概念，如样本空间、事件、概率的定义，还涉及了距离可测空间的概念，这是概率论中形式化处理问题的重要工具。此外，条件期望和条件概率的讨论也是这一章的重点，它们在处理随机事件的依赖关系时起着关键作用。接着，介绍了距离空间的概率测度，这是概率论在更抽象的数学背景下应用的基础。 第二章离散鞅论中，详细阐述了鞅的基本概念，包括鞅的定义、性质以及停时定理。停时定理在随机过程的研究中极其重要，它允许我们根据随机过程的行为来确定停止时间。此外，该章还涵盖了收敛定理和鞅的不等式，这些结果在概率论的证明和应用中广泛使用。 第三章聚焦于Wiener过程，一个在随机分析和金融数学中极其重要的连续时间随机过程。Wiener过程的定义和性质，如连续性和局部可积性，被详细讲解。增量理论揭示了Wiener过程的微小变化特性，而重对数律则涉及到大时间行为的理解。Skorokhod嵌入定理是这一领域的经典结果，它提供了一种构造与给定随机过程相匹配的Wiener过程的方法。 第四章讨论了弱收敛理论，这是概率论中一个核心的收敛类型。首先，介绍了距离空间概率测度的弱收敛，这是刻画随机变量序列行为的统计性质的关键。接着，通过鞅的中心极限定理，展示了在一定条件下，鞅序列的标准化版本会弱收敛于标准正态分布。独立随机变量阵列的中心极限定理和弱大数律则分别解释了独立同分布随机变量的集中趋势和稳定性。 第五章深入探讨了强收敛理论，涉及随机变量级数的收敛性、强大数律和重对数律，这些都是理解随机现象长期行为的重要工具。Strassen强逼近定理是这一领域的先进结果，它在概率逼近理论中有重要地位。 总体来说，《高等概率论》适合数学专业高年级本科生和研究生作为教材或参考书，通过深入浅出的讲解，引导读者掌握概率论的高级概念，并为从事概率论与随机过程的深入研究打下坚实基础。书中的每一个定理和概念都有清晰的解释和严谨的推导，使得即使是对概率论不熟悉的读者也能逐步理解和掌握其中的精髓。