改进的拟牛顿法解决等式约束凸二次规划

"等式约束下凸二次规划问题的改进拟Newton算法的论文，由王建芳、杨晓光和宋伟撰写，介绍了如何利用增广Lagrange函数和Wolf-Powell线搜索来优化拟Newton法求解此类问题。" 在优化理论和计算数学中，等式约束下凸二次规划问题是一个基础且重要的问题，广泛应用于数学规划和实际工业场景。该问题涉及到找到一个向量x，使得目标函数f(x) = x^TQx + c^Tx达到最小值，同时满足等式约束Ax = b，其中Q是正定矩阵，c、A和b是常数向量和矩阵。这类问题的解决方案对于理解和解决更广泛的非线性规划问题至关重要。 传统的解决方法，如线性规划的单纯形法，侧重于寻找Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 条件的最优解。然而，随着算法的发展，如有效集算法和序列二次规划算法，研究者开始探索更高效的方法。Lagrange-Newton算法结合了Lagrange乘子法和Newton法，用于局部二次规划。 王建芳、杨晓光和宋伟的论文提出了一种改进的拟Newton法。他们利用增广Lagrange函数将等式约束问题转化为无约束问题，这一步骤能够简化问题并方便应用无约束优化算法。增广Lagrange函数通过引入拉格朗日乘子λ，将原问题转化为一个包含原始目标函数和惩罚项的无约束优化问题。 在选择步长时，他们采用了Wolf-Powell线搜索策略，这一策略相较于传统的Armijo线搜索，能更好地避免步长过小导致的迭代次数过多。Wolf-Powell线搜索在确保下降性质的同时，还能防止搜索步长过小，从而提高算法的效率和收敛性。然而，标准的拟Newton法，如BFGS法，可能存在修正矩阵B_k 不对称或正定性不足的问题，这可能导致拟Newton方向不再是梯度的下降方向。论文中提到的改进算法解决了这个问题，确保了算法的稳定性和正确性。 在实际应用中，通过数值检验，这种改进的算法显示出了可行性和有效性。这种方法不仅提高了求解速度，还保证了算法在处理非正定或不规则问题时的稳健性，对于等式约束下的凸二次规划问题提供了更优的解决方案。