DAG图与拓扑排序：概念、判断与应用详解

拓扑排序是本课件的核心内容，它是一种在有向无环图（DAG）中对顶点进行排序的方法，使得对于任意一条有向边 (u, v)，顶点 u 的编号总是小于顶点 v 的编号。在讲解中，首先定义了什么是DAG，即一个没有环的有向图，通过图的结构展示直观地说明了有向无环图与有环图的区别。 判断一个图是否为DAG的关键在于是否存在环。通过深度优先搜索(DFS)来检查，如果在遍历时没有发现顶点有指向已访问过的顶点且DFS函数未完成的情况，那么该图就是DAG。例如，通过`boolDAG`函数实现这个判断过程，它遍历每个顶点并利用栈数据结构进行深度优先搜索，若有回边或者未遍历完所有邻接点就返回`FALSE`，否则返回`TRUE`。 课程还讨论了有向无环图的应用，比如在工程网络分析中，如活动关系图(AOV网)和活动时间网络(AOE网)中的关键路径问题。在AOE网中，关键路径是指从最早开始活动到最晚结束活动的最长路径，这对于项目管理中的任务调度和资源分配至关重要。拓扑排序在此场景下用于确定任务的执行顺序，确保依赖关系得到满足。 此外，课程还提及了如何用树形结构表示复杂的数学表达式，如 ((a+b)*(b*(c+d))+(c+d)*e)*((c+d)*e)，这展示了拓扑排序在实际问题中的实用性，尤其是在处理表达式求值或优化时，可以利用拓扑排序找到最优的运算顺序。 小结部分总结了拓扑排序的基本概念、判断方法和应用场景，而作业可能涉及到设计或实现拓扑排序算法，并将其应用到具体实例中。最后，通过公用表达式的例子，进一步展示了拓扑排序如何解决实际问题中的复杂计算问题。 这是一份深入浅出的拓扑排序教程，旨在帮助学生理解和掌握拓扑排序算法，并能运用到实际的有向图分析和表达式处理问题中。