RLS与SVM详解：Tikhonov正则化与核方法应用

本资源是一份关于正则化的最小二乘支持向量机（Regularized Least Squares, RLS）与支持向量机（Support Vector Machines, SVM）的英文讲座PPT，由知名专家Lorenzo Rosasco主讲。讲座的目的是介绍Tikhonov正则化的两种主要应用实例，并探讨它们的计算特性。 首先，讲座的焦点在于最小二乘法在支持向量机中的应用，通过解决一个带有正则化项的问题来避免过拟合。训练数据集由一系列样本点表示，S={(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，其中输入是特征向量集合X={x1, x2, ..., xn}，标签是Y={y1, y2, ..., yn}。讲解了核方法在机器学习中的关键作用，包括线性核（K(xi, xj) = xTixj）、多项式核（K(xi, xj) = (xTixj+1)d）以及高斯核（K(xi, xj) = exp(-||xi - xj||^2 / σ^2）的定义。核函数的定义使得可以通过构建核矩阵K来处理非线性问题，其中Kij等于K(xi, xj)。 Tikhonov正则化是一种常用的正则化技术，其目标函数是求解Hilbert空间H中的最小二乘问题，同时控制函数的复杂度以防止过拟合。形式化表达为： \[ \arg\min_{f \in H} \left\{ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} V(y_i, f(x_i))^2 + \lambda \|f\|_H^2 \right\} \] 这里，V是损失函数，yi是目标值，λ是正则化参数，它平衡了模型的拟合误差和复杂度。讲座中还提到了代表定理（Representer Theorem），该定理指出，正则化最小二乘问题的解可以表示为线性组合的形式，即存在系数向量c=(c1, c2, ..., cn)，使得函数f可以写为： \[ f(x) = \sum_{j=1}^{n} c_j K(x, x_j) \] 这意味着f在每个输入点上的值是基于训练数据上所有点的核函数加权和。 通过这个PPT，学习者可以深入了解正则化如何影响支持向量机的学习过程，以及如何利用核技巧处理复杂的非线性问题。此外，PPT的结尾还提供了RLS和SVM工具箱的下载链接，以便于实践操作和进一步研究。这对于理解和支持向量机理论以及实际应用具有重要的参考价值。