Pythagorean模糊粗略逼近空间的信念函数与应用探索
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更新于2024-07-10
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"勾股模糊粗略逼近空间的置信函数及其应用"
这篇研究论文探讨了勾股模糊粗略逼近空间的置信函数及其在决策和不精确、不确定知识减少问题中的应用。勾股模糊集（Pythagorean fuzzy set）是模糊理论的一个分支，特别适合处理具有模糊性和不确定性的信息。在模糊粗糙集理论中，它提供了一种更灵活的框架来处理数据的不完整性。
首先，文章介绍了勾股模糊集的概念，这是由Pythagorean模糊度量定义的模糊集，其成员度是由一组平方和等于1的实数表示。这种表示允许处理那些无法通过传统模糊集完全捕捉的模糊情况，因为它允许存在一定程度的内部不一致性。
接着，作者们提出了勾股模糊粗略逼近空间的置信函数。置信函数是证据理论（也称为Dempster-Shafer理论）中的一个关键概念，用于量化不确定性信息。在勾股模糊粗略逼近空间中，置信函数被用来衡量一个元素属于或不属于某一模糊集合的可信程度，从而更好地分析和处理模糊和不确定信息。
论文进一步阐述了如何将这些置信函数应用于属性约简。在粗糙集理论中，属性约简是一种减少数据复杂性而保留重要信息的方法。通过使用勾股模糊粗略逼近空间的置信函数，可以确定哪些属性对于决策最为关键，同时降低因不确定性和模糊性引入的复杂性。
此外，论文还讨论了合理性函数（plausibility function），这是另一种处理不确定信息的工具。合理性函数结合了置信度和可能性度量，为决策提供了更全面的视角。在勾股模糊环境中，合理性函数可以用来评估决策的可能性和合理性，有助于在不确定条件下做出更合理的决策。
关键词包括：Pythagorean模糊粗略集、证据理论、置信函数、合理性函数以及属性约简。这些关键词揭示了研究的核心内容，即在勾股模糊背景下融合粗糙集理论和证据理论，以解决实际问题中的不确定性和模糊性。
这篇研究论文为理解和应用勾股模糊粗略逼近空间的置信函数提供了一个深入的视角，并展示了其在处理不精确和不确定数据时的有效性。这一理论对决策支持系统、信息检索、模式识别等领域的研究和发展具有重要的理论和实践意义。
62 S.-P. Zhang et al. / International Journal of Approximate Reasoning 119 (2020) 58–80
=
s∈U
[l
G
(u, s) ∧ ν
E
(s)]
2
∧σ
2
=
s∈U
[l
G
(u, s) ∧ ν
E
(s)]
2
∧σ .
Thus G(E ∪
λ,σ ) = G(E) ∪
λ,σ . Similarly we can prove G(E ∩
λ,σ ) = G(E) ∩
λ,σ . 2
Definition 2.5. Suppose U is an universe of discourse, U = ∅, E ∈P-F (U ) and (λ, σ ) ∈ D
∗
. we define E
σ
λ
={u ∈ U :l
E
(u) ≥
λ,
ν
E
(u) ≤ σ } as the (λ, σ )-level set of E. E
λ+
={u ∈ U :l
E
(u) >λ} and E
λ
={u ∈ U :l
E
(u) ≥ λ} are called the strong λ-level
set and the λ-level set of membership degree with respect to E, respectively. Meanwhile, the strong σ -level set and the
σ -level set of non-membership degree with respect to E are defined respectively as follows: E
σ +
={u ∈ U : ν
E
(u) < σ },
E
σ
={u ∈ U : ν
E
(u) ≤ σ }.
Now
we discuss the properties of the level sets.
Proposition
2.4. If E
σ
λ
is the (λ, σ )-level set of E, similarly to [11]we have: E, F , E
i
∈ P -F(U ), u ∈ U, i ∈ J, Jis an index set,
∀(λ, σ ) ∈ D
∗
,
(1)
E
σ
λ
= E
λ
∩ E
σ
;
(2)
(∼ E)
λ
=∼ E
λ+
, (∼ E)
σ
=∼ E
σ +
;
(3)
E ⊆ F ⇒ E
σ
λ
⊆ F
σ
λ
;
(4)
(
i∈J
E
i
)
λ
=
i∈J
(E
i
)
λ
, (
i∈J
E
i
)
σ
=
i∈J
(E
i
)
σ
, (
i∈J
E
i
)
σ
λ
=
i∈J
(E
i
)
σ
λ
;
(5)
(
i∈J
E
i
)
λ
⊇
i∈J
(E
i
)
λ
, (
i∈J
E
i
)
σ
⊇
i∈J
(E
i
)
σ
;
(6)
λ∈[0,1]
λ ∨ E
λ
(u) =l
E
(u),
σ ∈[0,1]
σ ∧ E
σ
(u) = ν
E
(u).
Definition
2.6. Suppose U is an universe of discourse, U = ∅, E ∈ P -F(U ) and (λ, σ ) ∈ D
∗
. We define
E
σ
2
λ
2
={u ∈ U :l
2
E
(u) ≥
λ
2
, ν
2
E
(u) ≤ σ
2
} as the (λ
2
, σ
2
)-level set of E.
E
λ
2
+
={u ∈ U :l
2
E
(u) >λ
2
} and
E
λ
2
={u ∈ U :l
2
E
(u) ≥ λ
2
} are called the strong
λ
2
-level set and the λ
2
-level set with respect to E, respectively. We call
E
σ
2
+
={u ∈ U : ν
2
E
(u) < σ
2
} and
E
σ
2
={u ∈ U :
ν
2
E
(u) ≤ σ
2
} the strong σ
2
-level set and the σ
2
-level set with respect to E, respectively.
Theorem
2.5. The level set of P-F sets satisfies the following properties: E, F , E
i
∈ P -F(U ), u ∈ U , i ∈ J, Jis an index set, (λ, σ ) ∈ D
∗
,
(1)
E
σ
2
λ
2
=
E
λ
2
∩
E
σ
2
;
(2)
(
∼ E)
λ
2
=∼
E
λ
2
+
, (
∼ E)
σ
2
=∼
E
σ
2
+
;
(3)
E ⊆ F ⇒
E
σ
2
λ
2
⊆
F
σ
2
λ
2
;
(4)
(
i∈J
E
i
)
λ
2
=
i∈J
(
E
i
)
λ
2
, (
i∈J
E
i
)
σ
2
=
i∈J
(
E
i
)
σ
2
, (
i∈J
E
i
)
σ
2
λ
2
=
i∈J
(
E
i
)
σ
2
λ
2
;
(5)
(
i∈J
E
i
)
λ
2
⊇
i∈J
(
E
i
)
λ
2
, (
i∈J
E
i
)
σ
2
⊇
i∈J
(
E
i
)
σ
2
;
(6)
λ∈[0,1]
λ
2
∧l
E
λ
2
(u) =l
E
(u),
σ ∈[0,1]
σ
2
∨ν
E
σ
2
(u) = ν
E
(u);
(7)
λ∈[0,1]
λ
2
∨l
E
λ
2
(u) =l
E
(u),
σ ∈[0,1]
σ
2
∧1 −ν
E
σ
2
(u) = ν
E
(u).
Proof. (1)
E
σ
2
λ
2
={u ∈ U : l
2
E
(u) ≥ λ
2
, ν
2
E
(u) ≤ σ
2
}, that is to say, ∀u ∈
E
σ
2
λ
2
satisfies l
2
E
(u) ≥ λ
2
and ν
2
E
(u) ≤ σ
2
, since
E
λ
2
=
{
u ∈ U :l
2
E
(u) ≥ λ
2
} and
E
σ
2
={u ∈ U : ν
2
E
(u) ≤ σ
2
}, then u ∈
E
λ
2
and u ∈
E
σ
2
. Otherwise, ∀u ∈
E
λ
2
meanwhile u ∈
E
σ
2
, then
u ∈
E
σ
2
λ
2
. Then
E
σ
2
λ
2
=
E
λ
2
∩
E
σ
2
.
(2)
(
∼ E)
λ
2
={u ∈ U :l
2
∼E
(u) ≥ λ
2
}, and ν
E
(u) =l
∼E
(u), that is to say ν
2
E
(u) ≥ λ
2
, thus (
∼ E)
λ
2
={u ∈ U :l
2
∼E
(u) ≥ λ
2
} =∼
{
u ∈ U : ν
2
E
(u) <λ
2
} =∼
E
λ
2
+
.
(
∼ E)
σ
2
={u ∈ U : ν
2
∼E
(u) ≤ σ
2
}, and l
E
(u) = ν
∼E
(u), that is (
∼ E)
σ
2
={u ∈ U :l
2
E
(u) ≤ σ
2
} =∼ {u ∈ U : l
2
E
(u) > σ
2
} =∼
E
σ
2
+
.
(3)
If u ∈
E
σ
2
λ
2
, then l
2
E
(u) ≥ λ
2
, ν
2
E
(u) ≤ σ
2
, since E ⊆ F , then, l
2
F
(u) ≥ l
2
E
(u) ≥ λ
2
and ν
2
F
(u) ≤ ν
2
E
(u) ≤ σ
2
, we have
u ∈
F
σ
2
λ
2
={u ∈ U :l
2
F
(u) ≥ λ
2
, ν
2
F
(u) ≤ σ
2
}, then E ⊆ F ⇒
E
σ
2
λ
2
⊆
F
σ
2
λ
2
.
(4)
i∈J
E
i
={u,
i∈J
l
2
E
i
(u),
i∈J
ν
2
E
i
(u) : u ∈ U }, J is a index set, then (
i∈J
E
i
)
λ
2
={u ∈ U : (
i∈J
l
2
E
i
(u))
2
≥
λ
2
} ={u ∈ U :
i∈J
l
2
E
i
(u) ≥ λ
2
} ={u ∈ U : l
2
E
i
(u) ≥ λ
2
, ∀i ∈ J} =
i∈J
(
E
i
)
λ
2
and
(
i∈J
E
i
)
σ
2
={u ∈ U : (
i∈J
ν
2
E
i
(u))
2
≤
σ
2
} ={u ∈ U :
i∈J
ν
2
E
i
(u) ≤ σ
2
} ={u ∈ U : ν
2
E
i
(u) ≤ σ
2
, ∀i ∈ J } =
i∈J
(
E
i
)
σ
2
. Again in terms of (1), we have
(
i∈J
E
i
)
σ
2
λ
2
=
(
i∈J
E
i
)
λ
2
∩
(
i∈J
E
i
)
σ
2
=
i∈J
((
E
i
)
λ
2
∩(
E
i
)
σ
2
) =
i∈J
(
E
i
)
σ
2
λ
2
.
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