资产定价理论复习：市场完备性与无套利条件

"资产定价复习，证券的定义与结构，完全市场与不完全市场的概念， Arrow-Debreu securities，short-selling，portfolio的概念，Asset Span，市场价格，收益计算，使用期权完善市场，No-Arbitrage理论" 在金融领域，资产定价是研究如何确定资产价值及其未来收益的重要理论。复习资产定价时，我们首先要理解证券的性质和结构。证券可以是资产（如股票或债券），它们在不同的经济状态下有不同的收益（payoff）。下标通常用来表示在不同状态下的预期收益。 "security structure"是指证券的组合方式。若一个矩阵`R`的秩为`j`，并且它满秩，那么我们称市场为完全市场。在这种情况下，任何期望收益组合都能通过`R`中的`j`种债券来构建。反之，如果秩不满，则市场被称为不完全市场，意味着有些预期收益无法通过现有证券组合实现。 Arrow-Debreu securities是标准正交基向量，它们在构建证券组合时起到关键作用。短卖（short-sell）允许投资者借入证券并卖出，期待在未来低价回购，从而实现盈利。 Portfolio代表投资者持有的证券组合，是一个列向量，其中每个元素表示相应证券的数量。Asset Span是指能由市场中的证券组合表示出来的投资组合集合。如果所有的portfolio都可以由Asset Matrix表示，那么市场就是完备的。完备市场意味着至少存在`j`个线性独立的证券，使得任何组合都可以被构建。 市场价格是一个行向量，与portfolio相乘后得到单个数值，即总成本。收益计算公式为Return = payoff / price。如果考虑期权，比如call option，可以增加市场的完备性。例如，一个股票的payoff加上多个不同行权价的call options，可以构造出新的证券组合，形成一个上三角矩阵，其行列式值为1，表明它是满秩的，从而完成市场。 No-Arbitrage理论是现代金融学的核心，包括Law of One Price (LOOP)，No Strong Arbitrage (NSA) 和 No Arbitrage (NA)。LOOP确保了相同资产在不同市场上的价格一致。NSA进一步指出，如果没有免费午餐（无套利机会），那么零收益的portfolio价格应为零。而NA是最基础的无套利条件，它表明没有风险且无需初始投资就能获得正收益的策略是不存在的。 以上内容概述了资产定价复习中的关键概念，包括市场结构、证券组合、无套利原则及其在完善市场中的应用。这些理论是理解和分析金融市场动态的基础，对于投资决策具有重要指导意义。