2018数学联赛集训：难题解析与关键知识点

2018年的数学联赛集训中，包含了一系列数学竞赛题目，涵盖了填空题和解答题，主要考察了函数性质、三角函数、几何图形、数列与组合、解析几何、概率论、不等式证明等多个知识点。以下是各部分知识点的详细解析： 1. 填空题： - 题目1要求解决的是二次函数的性质问题，如果函数$f(x) = ax^2 + bx + c$满足$f(a) = f(b)$，且$a \neq b$，则利用函数图像对称性，可以得出$f(2)$的值。 - 题目2涉及三角函数的组合，给定条件$cos(\alpha) = tan(\alpha)$，需要找到$\frac{1}{4}(cos^2\alpha + sin^2\alpha)$的值，可以通过三角恒等变换简化求解。 - 题目3考查复数的运算，已知复数数列的表达式，通过共轭复数的性质计算2015年项$z_{2015}$的值。 - 题目4涉及到向量的几何应用，矩形中的动态点P和Q满足特定关系，需要求解向量PA与PQ数量积的最小值，涉及向量长度和夹角的优化问题。 - 题目5考虑正方体的几何概率，要求计算随机选取三条棱两两异面的概率。 - 题目6是关于平面区域的面积，给出了一个由不等式定义的点集，求解对应的平面区域面积。 - 题目7涉及三角函数的周期性和正实数w的范围，通过给定的等式确定w的取值范围。 2. 解答题： - 题目9是不等式的证明，需要利用实数性质证明关于$x$和$k,m$的不等式恒成立。 - 题目10要求求解非负实数$x_1,x_2,x_3$的函数最小值和最大值，条件是它们的和等于常数。 - 题目11没有提供具体内容，但可能是求解某个数学模型的问题，可能是函数极值、积分或者组合优化等。 这些题目不仅测试参赛者的数学基础，还涵盖了代数、几何、数列分析、概率统计等多个数学领域，旨在考察选手的综合运用能力以及解决问题的策略和技巧。通过解答这些问题，参赛者能够提升数学思维的灵活性和深度，同时巩固和拓展相关理论知识。