"二分图匹配算法：匈牙利和KM算法简介"

二分图是图论中的一种特殊模型，也称为二部图。它的定义是：设G=(V,{R})是一个无向图，顶点集V可以分为两个互不相交的子集，每条边都连接两个不同子集中的顶点。这样的图就称为二分图。 在二分图中，存在一个重要的问题，就是最大匹配。给定一个二分图G，在它的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，这样的子图就被称为匹配。而最大匹配问题就是从所有匹配中选择边数最多的子集，即使得匹配的边数最大。 为了求解最大匹配问题，最直观的方法是找出全部匹配，然后从中选择边数最多的。但是这个算法的时间复杂度为边的指数级函数，不够高效。因此，我们需要寻找一种更加高效的算法。 匈牙利算法就是解决最大匹配问题的一种常用算法。它的基本思想是通过不断寻找增广路来进行匹配的扩展，直到无法找到新的增广路为止。 那么什么是增广路呢？增广路的定义是：在图G中，如果存在一条连通两个未匹配顶点的路径，并且这条路径上的边交替属于匹配和不属于匹配，那么这条路径就称为相对于当前匹配的一条增广路。 通过增广路的定义，可以得到以下三个结论： 1. 增广路的长度必定为奇数，因为匹配和未匹配的边交替出现，每条边的两个顶点都属于不同的子集，所以路径上的点个数是奇数。 2. 增广路的第一条边不属于当前匹配，最后一条边属于当前匹配。这是因为增广路的起点和终点都是未匹配的顶点，而路径上的边必须交替属于匹配和不属于匹配。 3. 在增广路中，对于匹配边，如果它是当前匹配中的一条边，那么在增广路中与它相邻的匹配边必定是当前匹配中的另一条边。 根据这些结论，匈牙利算法的基本思路可以总结如下： 1. 从未匹配的顶点出发，找到一条增广路。 2. 将增广路上的匹配边和非匹配边进行交换，扩展当前匹配。 3. 重复步骤1和步骤2，直到无法找到新的增广路。 在匈牙利算法中，为了方便寻找增广路，可以使用深度优先搜索或广度优先搜索。 虽然匈牙利算法是求解最大匹配问题的一种有效方法，但在某些情况下，它的时间复杂度仍然很高。因此，为了进一步提高求解效率，可以使用KM算法。 KM算法是一种通过不断调整节点的权值来实现最大匹配的方法。它的基本思想是通过不断寻找满足条件的节点匹配来逐步增加匹配的数目，直到达到最大匹配。 KM算法的具体步骤如下： 1. 对二分图中的左侧节点进行初始化，令它们的权值为无穷大。 2. 遍历左侧节点，对每个节点进行匹配和调整节点权值的操作。 3. 在匹配中，寻找相邻未匹配的右侧节点，并尝试进行匹配，如果匹配成功则更新节点权值。 4. 重复步骤2和步骤3，直到无法找到新的匹配。 需要注意的是，KM算法的运行时间比匈牙利算法更短，但它需要使用一个二分图的完美匹配作为初始匹配。如果初始匹配不是完美匹配，可以采用贪心算法等方法进行优化。 综上所述，匈牙利算法和KM算法是解决二分图最大匹配问题的两种常用算法。匈牙利算法通过不断寻找增广路来进行匹配的扩展，而KM算法则是通过调整节点的权值来实现最大匹配。这两种算法各有优劣，需要根据具体情况选择适合的算法来解决问题。