线性支撑向量机:间隔最大化与最优解
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"该资源为SVM(支持向量机)的理论与算法分析文档,主要探讨了如何在特征空间中找到最优的线性分离超平面。文档详细介绍了线性可分情况下的支撑向量机模型,包括函数间隔和几何间隔的概念,并阐述了它们在寻找最优超平面中的作用。" 在机器学习领域,支持向量机(SVM)是一种广泛应用的监督学习模型,尤其擅长处理分类问题。本文档主要关注线性可分情况下的SVM,即硬间隔线性支撑向量机。在这种情况下,存在一个超平面能够完全将不同类别的样本点分开。 训练数据集通常由特征向量和对应的类别标签组成,例如在给定的数据集中,特征向量`xi`属于欧几里得空间`R^n`,标签`yi`取值为`+1`或`-1`,分别代表正例和负例。目标是找到一个超平面,即满足方程`w∙x + b = 0`的平面,其中`w`是法向量,`b`是截距,使得正例位于超平面的一侧,负例位于另一侧。 在SVM中,超平面的选择不仅基于其能否正确分类,还考虑了分类的“确信度”。这通过“间隔”概念来衡量,间隔越大,分类的准确性越高。间隔有两种形式:函数间隔和几何间隔。函数间隔`y(w∙x + b)`反映了点`x`相对于超平面的投影距离,乘以标签`y`的符号,确保了正确的分类方向。然而,由于仅调整`w`和`b`的比例不会改变超平面,因此引入了几何间隔的概念,即对`w`施加单位范数约束`∥w∥=1`,使得每个超平面具有唯一的表示。 超平面关于样本点`xi`的几何间隔`γ^i`定义为函数间隔除以`w`的范数,即`γ^i = y_i * (w∙x_i + b) / ∥w∥`。同样,对于整个训练数据集`T`,我们可以计算出几何间隔的最大值,这正是SVM的目标,最大化这个间隔以找到最优的超平面。 通过最大化几何间隔,SVM不仅能找到一个可以正确分类所有样本的超平面,而且能找到最“宽”的超平面,即与最近的样本点距离最大的超平面。这种方法确保了模型的泛化能力,即使在新样本出现时也能保持较好的分类性能。 SVM通过优化几何间隔来寻找最佳的线性决策边界,其核心在于找到一个能够最大化间隔的超平面,从而提高分类的稳定性和泛化能力。这一理论对于理解和应用SVM算法至关重要,特别是在解决实际问题时,如文本分类、图像识别和生物信息学等领域。
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