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首页首尾和循环矩阵的逆矩阵算法
"首尾和循环矩阵求逆的一种算法 (2004年)" 本文主要探讨了首尾和循环矩阵(First-Last Sum Cyclic Matrix,简称FLSCM)的逆矩阵计算方法,这是一种在纠错码理论中常见的特殊循环矩阵。作者黄德超和沈光星运用多项式矩阵理论,提出了一个算法来有效地求解这类矩阵的逆矩阵或群逆。 首先,文章介绍了首尾和循环矩阵的定义,这种矩阵由一个中心对称的主对角线元素序列组成,并且具有特定的结构。矩阵A表示为FLSCM的形式,其中ao, a1, ..., al-1是矩阵的元素。通过定义,我们可以看到这种矩阵的结构是由一条从左上角到右下角的连续元素链,然后反向回到左下角到右上角的链构成。 接着,文章引入了单位矩阵和一个特殊的首尾和循环矩阵U,其特征多项式为x^n - x - 1,U的逆矩阵为D,满足D^n = n*I + D,其中I是n阶单位矩阵。这个特殊矩阵在后续的算法设计中起到关键作用。 在证明和算法部分,作者指出提出的算法不依赖于傅立叶变换,避免了实数到复数的转换,因此更适合计算机实现,且存储需求较小,仅存在舍入误差。对于有理数域上的计算,算法能够得到精确的逆矩阵或群逆。 论文的关键贡献在于提供了一个直接计算首尾和循环矩阵逆的算法,这对于在纠错码理论等领域处理这类矩阵的逆问题具有实际意义。这种方法简化了计算过程,提高了效率,对于相关领域的研究和应用有着积极的影响。 这篇文章为解决特定类型矩阵的逆问题提供了新的思路,特别是在计算数学、算法设计与分析以及纠错码理论等领域能够找到应用。通过深入理解和应用这项工作,可以优化相关计算任务,提高计算效率。
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第
3
卷第
2
期
2004
年
3
月
杭州师范学院学报(自然科学版)
Journal
of
Hangzhou
Teachers
ColiegeCNatural
Science
Edition)
Vo
l. 3
No.
2
Mar. 2004
文章编号:
1008
-
9403
(2004)
02
一
0087
一
04
首尾和循环矩阵求逆的一种算法
黄德超,沈光星
(杭州师范学院信息工程学院,浙江杭州
310012)
摘
要:利用多项式矩阵理论,对首尾和循环矩阵给出了一种算法,用来计算它的逆矩阵或群逆.
关键词:首尾和循环矩阵;逆矩阵;群逆;算法
中图分类号:
015
1.
2
文献标识码
:A
。
引言和引理
首尾和循环矩阵是一类特殊的循环矩阵,它在纠错码理论的广义循环码研究中经常遇到.在此,利用
多项式矩阵理论,给出了首尾和循环矩阵求逆的一种算法,用来计算它的逆矩阵或群逆.该算法不是建立
在傅立叶变换之上,不必将实数转换为复数运算,因而容易在计算机上实现,且存储量少,只存在舍入误
差,当在有理数域上讨论时,所得的逆(或群逆)都是精确的.
定义
1
若矩阵
Aε
c
nXn
具有如下形状
a
o
a]
a
z
a
n
-2
a"
t1
n
--
1
"。十
a
ll
1
a]
a
l/-
3
a
ll
-2
a
n
-
2
a
ll
1
十
Q
1/
2
ao
十
a
ll
-\
all_~
(1/1
-3
a2
a3
卡
ω2
的十
a
3
"。十的
l
a]
a
1
a
2
十
a]
a
3
+
a2
a
1/
_-1
十
Qn
-2
ao
+ 比
l
则称
A
为
n
阶首尾和循环矩阵,简记为
A
= F
LSC(a
o
,
a]
,
…
,
a
ll
-
1
)
仨
FLSCM
010
… o 0
令。=
nu nu
1
内
U
八
U
=
FLSC(O
,l,
O
,
…,
0)
仨
FLSCM
1 1 0 … o 0
其特征多项式为户
(x)
x" - x -
1
,显然有
D/
FLSC(O
,O,
…,
0.
1
.0
,…,
0)
.且满足
。"=
1"
+n.
其中
1"
为
n
阶单位方阵(下同)
.
定义
2[2]
设
A
仨
C
Il
XIJ
,称满足
收稿日期:
2004-01-08
作者简介:黄德超(]
972
一九男,浙江温州人,基础数学专业算法设计与计算机软件方向
02
级研究生;沈光星<1
943-)
,男.浙江绍兴
人,杭州师范学院信息工程学院计算机系教授,主要研究方向为计算数学、算法设计与分析等.
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