利用Padé-表的块状结构进行数值计算的Padé-逼近方法

"本文主要介绍了一种基于Padé-表的块状结构和高斯消去法的数值计算方法，用于求解函数f(z)的Padé-逼近。该方法能够处理退化或非退化的Padé-逼近，并判断逼近是否存在。作者通过分析Padé-逼近的定义和结构特征，提出了一种新的算法，解决了在数值计算中遇到的高斯消去法可能无法进行的问题。" Padé-逼近是一种在数值分析中广泛应用的技术，它通过近似函数的有理形式来逼近给定的幂级数或函数。这种逼近方法具有多项式逼近的优点，同时又能保持级数的局部性质。Padé-逼近可以分为退化和非退化两种类型，其中退化类型意味着逼近的分母存在重复根，而非退化类型则没有重复根。 在本文中，作者祝精美和秦静提出了一种新的计算策略，利用Padé-表的特殊结构——块状结构，结合高斯消去法来求解逼近的分子和分母的系数。传统的算法，如Baker算法、Kronecker算法、Watson算法和QD算法，通常依赖于递推公式或恒等式，但这些方法在处理某些复杂情况时可能会变得复杂，或者在遇到不存在的逼近阶数时需要调整。而新方法的优势在于，它能直接从Padé-方程出发，通过数值计算求解，即使面对退化情况也能找到相应的非退化解。 文章指出，尽管高斯消去法在数值计算中是常用的方法，但在处理Padé-逼近时可能会遇到问题，即当逼近退化时，消元过程可能无法继续。为了解决这个问题，作者利用Padé-表的块状结构，设计了一种适应于数值计算的算法，能够有效地计算任何阶的Padé-逼近，并判断逼近是否存在。这种方法不仅简化了计算过程，还扩大了适用范围。 文章进一步讨论了Padé-逼近的两种定义，即Frobenius定义（定义1），并介绍了与之相关的Padé-方程。通过这些方程，可以求解逼近的分子多项式P(z)和分母多项式Q(z)的系数矩阵。此外，文章还提到了与高斯消去法相关的矩阵运算，如Toeplitz矩阵的特性，以及如何处理等元素方块和等元素三角块。 这篇论文提供了一种新的数值计算方法，对于理解和应用Padé-逼近有重要的价值，特别是对于那些需要在实际计算中处理退化情况的场合。这种方法的提出，不仅增强了Padé-逼近的计算效率，也为后续的研究和应用开辟了新的途径。