北航数值分析作业：带双步位移的QR特征值与Gauss消元特征向量

本次作业主要涉及数值分析中的两个核心主题：带双步位移的QR方法和选主元的Gauss消去法在矩阵特征值与特征向量计算中的应用。以下是详细的解析： 1. **带双步位移的QR方法计算特征值**： - 算法设计步骤如下： a) 首先，对给定的矩阵A进行拟上三角化，这一步参考了《数值分析A》教材第P61-P62的内容，通过迭代更新元素来消除下三角部分的非零元素，形成上三角矩阵。 b) 使用教材中P59的QR分解算法，对可能出现的矩阵Mk进行分解，这是带双步位移QR算法的基础，确保矩阵的正交性和唯一性。 c) 结合上述两个步骤，根据P63-P64的描述，实现带双步位移的QR算法，该算法会迭代地更新矩阵并生成一系列 Householder 变换，最终通过这些变换得到矩阵A的所有特征值。这个过程要求处理好矩阵的秩和特征值的关系。 2. **选主元的Gauss消去法求实特征值及其特征向量**： - 由于原始问题中的线性方程变为(A-sI)x=0，与教材中Ax=b的形式不同，因此需要调整传统的Gauss消元法。通常Gauss消元法用于求解线性系统，但这里需要处理的是特征向量，即寻找使矩阵减去单位矩阵后的秩减少的向量。需要对消元过程中的常数项进行修正，以便找到对应的特征值。 - 在代码实现中，`#include<conio.h>`暗示可能涉及到用户输入或者交互式操作，用来选择主元或处理输入矩阵。在Gauss消元的迭代过程中，需要计算并存储系数矩阵和增广矩阵的变换，以便后续求解特征向量。 在编写程序时，应注意处理矩阵乘法、除法、平方根运算、归一化以及误差控制（例如定义E1.0e-12），以确保计算的准确性和稳定性。同时，为了提高效率，可能需要优化主元的选择策略，如最小绝对值主元法，以及在计算特征值过程中处理零元素的策略。 整个作业旨在通过实际编程练习加深对数值分析中这两个关键算法的理解和应用能力，包括矩阵操作、误差控制以及算法优化。完成这项作业后，学生应能熟练地在实际问题中使用带双步位移的QR方法求特征值，并能根据问题调整Gauss消元法以求得特征向量。