中立型延迟方程的无穷周期解：变分结构与Z2群指数法的应用

本文主要探讨了第二类非线性中立延迟微分方程的无穷多个周期解问题。作者徐远通、舒小保和洪武吴针对这类方程 \( x''(t-\tau) + f(t, x(t), x(t-\tau), x(t-2\tau)) = 0 \) 进行深入研究。他们利用了变分结构和\( Z_2 \)群指标理论来证明其存在性和多重性。 在介绍部分，提到了近年来，对于二阶中立延迟方程周期解的研究非常活跃，参考文献 [1] 的 G. Wang 和 J. R. Yan 的工作就是一个例子，他们关注的是具有形式 \( [x(t) + cx(t-\tau)]'' + g(t, x(t-\sigma)) = p(t) \) 的方程，其中 \(\tau\)、\(\sigma\) 和 \(c\) 是常数。 本文的核心方法是通过将问题转化为变分问题，利用变分结构来分析周期解的性质。变分法是数学物理中寻找极值解的有效工具，特别是对于偏微分方程和微分方程组。通过构建适当的泛函并利用其极值性质，可以确定解的存在性和稳定性。 \( Z_2 \)群指数理论在此处起到了关键作用，这是一种在数学中用于分类和计数临界点（即函数极值点）的方法，特别适用于那些具有对称性的系统。通过计算方程的\( Z_2 \)群指数，可以确定周期解的无限性，即使在没有明确形式解的情况下，也能给出存在性结论。 关键词包括变分结构、\( Z_2 \)群指数理论、中立延迟方程、临界点和周期解，这些都反映了文章的主要研究内容和方法。按照数学主题分类，该研究涵盖了34K13（非线性泛函微分方程）、34K40（周期性问题）以及65K10（数值方法与应用）等多个领域。 本文通过对特定类别的二阶非线性中立延迟微分方程的深入分析，揭示了无穷多个周期解的存在，并提供了基于变分结构和群指数理论的证明方法，这是该领域的一个重要贡献。对于理解这类系统的动力学行为以及开发新的数值算法都有重要意义。