分数阶振动方程的变分迭代解法与记忆性研究

"本文介绍了在粘弹性介质中考虑分数阶微分算子的阻尼振动问题，采用分数阶变分迭代法（FVIM）求解分数阶非线性振动方程，探讨了分数阶导数阶次对振子运动的影响，并提出了一种改进的变分迭代方法以扩大问题的收敛区段。" 分数阶微分方程在现代物理学和工程学中扮演着重要的角色，尤其是在描述具有记忆效应和遗传性质的复杂系统时。鲍四元和邓子辰的研究聚焦于分数阶振子方程，这类方程在粘弹性介质的振动分析中尤为关键。他们引入了Caputo分数阶微分的概念，以更好地模拟实际系统中的耗散行为。 研究中，作者使用分数阶变分迭代法(FVIM)来处理非线性振动问题，这是一种数值分析技术，用于寻找方程的近似解。通过推导Lagrange乘子的不同形式，他们成功地应用于线性分数阶阻尼方程，不论是齐次方程还是带有正弦激励力的非齐次方程。Bagley-Torvik方程被选为示例，展示了不同分数阶次下位移的变化曲线，从而揭示了分数阶导数阶次对振动特性的影响。 分数阶导数的阶次决定了系统的记忆性强度，随着阶次的改变，系统的响应特性也会相应变化。这种关系对于理解和预测系统行为至关重要，特别是在考虑长期效应的系统中。在计算方法上，通过引入小参数的改进FVIM，研究者扩展了求解问题的收敛域，提高了计算效率和解的稳定性。 此外，作者还用一个含分数导数的VanderPol方程进一步证明了FVIM在解决非线性分数阶微分问题上的有效性。VanderPol方程是一个常见的非线性动力学模型，其分数阶版本的解析解求解增加了问题的复杂性，但FVIM成功地处理了这个问题，显示了该方法在解决此类问题上的便利性。 这项工作强调了分数阶微分在模拟复杂动态系统中的价值，并提供了一种有效的方法来近似求解分数阶振动方程，对于理解和设计具有分数阶微分特性的工程系统具有深远的意义。同时，提出的改进变分迭代法为未来研究提供了新的工具，有助于进一步研究分数阶动力学系统的行为。