《数字信号处理基础》习题解答-单位阶跃响应

"数字信号处理基础习题解答, 周利清 编著, 北京邮电大学出版社" 在给定的文件信息中，我们可以看到主题涉及到的是一个线性时不变（LTI）系统的单位抽样响应以及如何计算单位阶跃响应。这属于数字信号处理中的基本概念。单位抽样响应是描述LTI系统对单位冲激信号输入的输出，而单位阶跃响应则是系统对单位阶跃信号输入的输出。 题目给出的单位抽样响应为： \[ h(n) = \delta(n) + 2\delta(n-1) - 3\delta(n-2) + \delta(n-3) \] 其中，\(\delta(n)\) 是单位冲激函数，它在n=0时的值为1，其他时刻为0。 单位阶跃响应 \(y(n)\) 可以通过卷积来获得，即将单位阶跃信号 \(u(n)\) 与单位抽样响应 \(h(n)\) 进行卷积。单位阶跃信号 \(u(n)\) 在n=0及之后的值为1，n<0时为0。单位阶跃响应是单位抽样响应对单位阶跃信号的累加效果。 卷积表达式为： \[ y(n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} h(k) u(n-k) \] 由于 \(h(n)\) 的非零项只在n=0, -1, -2, -3，我们可以简化卷积为： \[ y(n) = h(0)u(n) + h(-1)u(n-1) + h(-2)u(n-2) + h(-3)u(n-3) \] 将 \(h(n)\) 的具体值代入，得到： \[ y(n) = \delta(n)u(n) + 2\delta(n-1)u(n-1) - 3\delta(n-2)u(n-2) + \delta(n-3)u(n-3) \] 根据单位阶跃函数的性质，我们可以进一步简化： - 当 \(n < -3\) 时，\(u(n-k)\) 全为0，因此 \(y(n) = 0\) - 当 \(n = -3, -2, -1\) 时，只有最后一个项 \(h(-3)u(n-3) = \delta(n-3)\) 不为0，所以 \(y(n) = 1\) - 当 \(n = 0\) 时，前三项都不为0，最后一项为0，因此 \(y(n) = 1 + 2\cdot1 - 3\cdot1 = 0\) - 当 \(n > 0\) 时，所有项 \(u(n-k)\) 都为1，所以 \(y(n) = 1 + 2 - 3 + 1 = 1\) 单位阶跃响应 \(y(n)\) 为： \[ y(n) = \begin{cases} 1, & n = -3, -2, -1 \\ 0, & n = 0 \\ 1, & n > 0 \end{cases} \] 这个过程展示了数字信号处理中基本的系统分析方法，即通过单位抽样响应来求解单位阶跃响应。这样的问题对于理解线性时不变系统的特性至关重要，也是数字信号处理课程中的常见练习。 此外，书籍《数字信号处理基础习题解答》由周利清编著，旨在帮助学习者更好地理解和掌握数字信号处理的基本理论、概念和算法。此书可作为高等院校电子和通信专业学生的教材，也可供相关技术人员自学使用。书中提供了原教材的所有习题解答，有助于读者深入学习数字信号处理的知识。