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清华大学山秀明《信号与系统》第一章概览:信号分类与典型信号解析
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更新于2024-07-20
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《信号与系统》是清华大学山秀明教授的课件,专为考研学生提供学习资料。该讲义旨在引导学生理解和掌握信号与系统的基本概念和理论。第一章绪论首先介绍了信号与系统的基本框架,强调了信号的三个层次:消息、信息和信号本身。信号被定义为承载或蕴含信息的物理量,而系统则是由物理对象和条件组成的具有特定功能的整体。 课程的核心任务包括信号表示和系统分析与综合。信号表示涉及将复杂信号分解成简单组成部分,如傅立叶分析,而系统分析则研究系统对输入信号的响应,是信号处理的基础。系统综合则关注根据需求设计出期望的系统响应。 信号分类是后续章节的重要内容,主要包括确定性信号(如指数信号 e^{at} 和正弦信号 sin(At\omega t+\theta))、随机信号(具有不确定性,如伪随机信号)、以及非确定性信号和模糊信号,如高矮、胖瘦这类无法精确量化描述的例子。时间域信号的类型也有所区分,如连续时间信号(如模拟信号,如正弦波)、阶梯信号(连续时间但取值离散)、离散时间信号(如抽样信号,其幅值有无限精度)和数字信号(幅值有限精度)。 在典型确定性信号部分,讲义列举了指数信号和正弦信号作为基础示例,分别展示了它们的数学表达式,如指数衰减正弦信号。这些基本信号的分析是深入理解信号处理和系统行为的关键。 《信号与系统》讲义为学生提供了扎实的理论基础,涵盖了信号的定义、分类、系统分析与设计以及常见信号类型的特性和处理方法,是信号与系统专业学习者必备的学习资料。
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《信号与系统》讲义 第一章:绪论
16
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
p
nn
ht t t
δδ
==
(1-81)
图 1-20 图 1-21
积分:
() () ()
d
t
ht t t ut
δ
−∞
==
∫
(1-82)
图 1-22
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《信号与系统》 第二章:LTI 连续时间系统的时域分析
1
第二章:LTI 连续时间系统的时域分析
§2.1 系统的数学模型
R、L、C 上的电压与电流关系:
(
)
(
)
~et it
电阻:
() ()
1
it et
R
=
(2-1)
或
(
)
(
)
et Rit=
(2-2)
图 2-1
图 2-2 图 2-3
电感:
() () ()
11
d
p
t
it e et
LL
ττ
−∞
==
∫
(2-3)
或:
() () ()
d
p
d
et L it L it
t
==
(2-4)
图 2-4
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《信号与系统》 第二章:LTI 连续时间系统的时域分析
2
图 2-5 图 2-6
电容:
() () ()
d
p
d
it C et C et
t
==
(2-5)
或:
() () ()
11
d
p
t
et i it
CC
ττ
−∞
==
∫
(2-6)
图 2-7
图 2-8 图 2-9
求和(相加):
(
)
(
)
(
)
12
yt f t f t=± (2-7)
图 2-10
分支:
(
)
(
)
(
)
123
f
tftft== (2-8)
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《信号与系统》 第二章:LTI 连续时间系统的时域分析
3
图 2-11
LTI 连续时间系统的状态空间模型
(《信号与系统》第二版(郑君里)12.1,12.2,12.3):
例:问题:(1)
()
(
)
yt vt∼ ,(2)
(
)
(
)
(
)
12
,
x
txt vt∼
解:
() ()
(
)
() ()
() () ()
() () () ()
()
() ()
() ()
12
12
223
12 21
23
3
42
1
2
20
30
2
vt i t i t
xt i t
xt it it
xt x t it it
xt it
yt i t
=−⎧
⎪
=
⎪
⎪
=−
⎪
⎨
⎪
++ −=
⎪
−=
⎪
⎪
=
⎩
()
()
()
()
()
()
()
()
()
11
22
1
2
11
1
2
2
2
0
3
2
00
3
xt xt
vt
xt xt
xt
yt vt
xt
⎧−−
⎡⎤
⎡⎤
⎡⎤ ⎡⎤
⎪
⎢⎥
⎢⎥
=+
⎢⎥ ⎢⎥
⎪
⎢⎥
⎢⎥
−
⎢⎥ ⎢⎥
⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎣⎦
⎣⎦
⎨
⎪
⎡⎤
⎡⎤
⎪
=+×
⎢⎥
⎢⎥
⎪
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
⎩
状态方程
观测方程
图 2-12
定义(状态):能够表征系统时域动力学行为的一组最小内部变量组。
¾ 物理上,状态的维数 dimX(t) = 系统中独立储能元件的个数
¾ 状态的选取可以不唯一
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《信号与系统》 第二章:LTI 连续时间系统的时域分析
4
状态空间模型:
AB
nn nr
tttt
××
()= ()+ () ()XX V (状态方程) (2-9)
CD
mn mr
tttt
××
()= ()+ () ()YX V (观测方程/输出方程) (2-10)
其中, V(t) =
() () ()
[]
2
12 0
T
rr
vt v t vt Lt t
α
∈⎡⎤
⎣⎦
, ,……, , 为输入向量(r 维
X(t) =
() () ()
[]
2
12 0
T
nn
x
txt xt Ltt
α
∈⎡⎤
⎣⎦
, ,……, , 为状态向量(n 维)
Y(t) =
[
]
[
]
2
12 0
() () ()
T
mm
y
tyt yt Ltt
α
∈, ,……, , 为输出向量(m 维)
X
(t) =
12
() () ()
T
n
x
txt xt
⎡⎤
′′ ′
⎣⎦
, ,……,
图 2-13
方程的解:
X(t) = e
At
X(0) +
t
A(t- )
0
e
τ
∫
B V(τ) dτ (2-11)
Y(t) = Ce
At
X(0) +
t
0
[
∫
C
A(t- )
e
τ
B + D ()]t
δ
τ
−
V(τ) dτ (2-12)
若V(t)、X(0)已知,则X(t)、Y(t)确定。
LTI 系统的微分方程模型:
具有 n 个独立储能元件的单输入单输出(SISO)系统,输出输入关系为:
()
(
)
()
(
)
()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()
(
)
()
(
)
110 110
110 110
... ...
nn mm
nmm
ytay t aytaytbvtbv t bvtbvt
− −
− −
++++=++++
已知输入V(t)、输出初值
(
)
(
)
(
)
1
00
n
yy
−
、……、 ,求Y(t) = ?
LTI 系统的系统算子模型(郑君里书:2.8):
令:
dd
pp
dd
n
n
n
tt
==
,...,
(
)()
1
110 10
p p ... p p ... p
nn m
nm
aaaytbbbvt
−
−
⎡⎤⎡⎤
++++ =+++
⎣⎦⎣⎦
令:
(
)
1
110
p p p ... p
nn
n
Da aa
−
−
++++
(
)
10
p p ... p
m
m
Nb bb++ +
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