动态规划问题详解:经典实例与解题关键
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更新于2024-07-18
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"常见动态规划问题的总结,包括10个经典题目,涉及寻找三角形最小路径、最大子数组和、回文最小划分次数、最佳股票买卖时机、字符串交叉存取判断、矩阵最小和计算、字符串最小编辑距离、数字解码方式、不同子序列计数和单词分解问题。动态规划解决问题的关键在于理解问题结构,定义状态和状态转移方程,遵循最优化原理和无后效性原则。动态规划通常包括阶段划分、状态和状态变量确定、状态转移方程建立、边界条件设定以及记忆化搜索等步骤。"
动态规划是一种强大的算法思想,它通过将复杂问题分解为相互关联的子问题,逐个解决并存储结果,避免重复计算,从而找到全局最优解。在上述的10个问题中,我们可以看到动态规划的应用:
1. **三角形找一条从顶到底的最小路径**:这个问题可以通过自底向上的方式,计算每一层每个节点到顶点的最小路径。
2. **最大子数组和**:Kadane's algorithm 是解决这个问题的经典动态规划方法,通过维护当前子数组的最大和与全局最大和来找到答案。
3. **回文最小划分次数**:寻找将字符串分割成回文子串的最小次数,可以通过动态规划建立状态表示已处理到哪个字符,并计算到当前位置的最小切割次数。
4. **最佳时间买卖股票**:寻找股票买卖的最佳时刻,可以使用动态规划状态表示前一天持有或不持有股票的情况,并据此计算当前持有或不持有股票的最优收益。
5. **判断字符串s3是否由s1,s2交叉存取组成**:可以通过动态规划建立状态表示s1和s2当前匹配的长度,进而判断s3是否能通过这两个字符串交叉组成。
6. **给定一个矩形表格,求从顶到底的最小和**:这个问题可以通过二维动态规划,自上而下填充一个矩阵,每一步计算当前位置的最小和。
7. **使两个字符串相等,最小的编辑次数**:Levenshtein 距离可以用来计算这个问题,通过动态规划状态表示前i个字符的字符串转化为前j个字符的字符串所需的最少操作次数。
8. **给定一串数字,1对应A,2对应B,26对应Z,求有多少种解码方式**:这涉及到动态规划的子序列计数,状态表示已经解码了多少位数字,根据当前位置的数字和之前的状态计算解码方案数量。
9. **不同的子序列Distinct Subsequences**:动态规划可以用于计算一个字符串中所有不同子序列的数量,状态表示到达字符串的某个位置时,已有多少种不同的子序列。
10. **单词分解Word Break**:这个问题要求将一个字符串分解成词典中的单词,动态规划状态表示当前字符串能否被分解,通过查找词典中的单词更新状态。
在设计动态规划解决方案时,关键是正确地定义状态、确定状态转移方程,并确保满足最优化原理和无后效性。这些问题的解决都遵循这一基本框架,通过动态规划可以有效地解决这类多阶段决策问题。
2010-12-12 上传
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