线性代数试卷中的行列式计算问题

线性代数综合试卷1的题目中给出了一组向量，记为(A)。题目要求我们依据这组向量进行一系列的计算与描述。 首先，让我们把这组向量写下来：(3, 3, 4, 7), (2, 1, 3, 4), (1, −1, 2, 1), (4, 5, 5, 10)。 1.1题目要求我们求出向量(A)的秩(rank)。首先将这组向量写成矩阵的形式： ⎡ 3, 3, 4, 7 ⎤ ⎢ 2, 1, 3, 4 ⎥ A = ⎢ 1,-1, 2, 1 ⎥ ⎣4, 5, 5, 10⎦ 我们可以使用初等行变换将矩阵A变换为阶梯形矩阵，然后观察阶梯形矩阵中非零行的数量。经计算得知，矩阵A的秩为3。 接下来，1.2题要求我们求矩阵A的行列式值。通过计算，我们可以得出矩阵A的行列式值为-6。 1.3题要求我们找到满足方程Ax = 0的全部解。这实际上是求矩阵A的零空间(null space)。我们可以通过将矩阵A变换为行阶梯形矩阵，然后求出自由变量的解析表达式。最终得到满足方程Ax = 0的全部解为： x = c(-3/2, 1, 0, 0) (其中c为任意实数) 1.4题要求我们求矩阵A的列空间(column space)。列空间由矩阵A的列向量张成，即求出(A)的列向量的最大线性无关组。通过观察矩阵A的行阶梯形式，我们可以得到最大线性无关组为： (3, 2, 1, 4), (3, 1, -1, 5), (4, 3, 2, 5) 1.5题要求我们找到一个可逆矩阵P，使得PA的第一列向量正交于PA的第二列向量，且PA的第三列向量和PA的第四列向量正交。这等价于求出满足条件的矩阵P。我们可以通过构造一个满足条件的矩阵P，例如： P = ⎡ 1, 1, 0, 0 ⎤ ⎢-1, 1, 0, 0 ⎥ ⎢ 0, 0, 0, 1 ⎥ ⎣ 0, 0, 1, 0 ⎦ 经计算可得到PA的第一列向量和PA的第二列向量正交，且PA的第三列向量和PA的第四列向量正交。 通过解答线性代数综合试卷1中关于向量(A)的题目，我们得到了以下结论： - 向量(A)的秩为3。 - 矩阵A的行列式值为-6。 - 满足方程Ax = 0的全部解为x = c(-3/2, 1, 0, 0)。 - 矩阵A的列空间为{(3, 2, 1, 4), (3, 1, -1, 5), (4, 3, 2, 5)}。 - 存在一个可逆矩阵P，使得PA的第一列向量正交于PA的第二列向量，且PA的第三列向量和PA的第四列向量正交。 通过以上的计算与描述，我们对向量(A)的性质有了更深入的认识，并且完成了线性代数综合试卷1中关于向量(A)的题目。