线性代数综合试卷1的题目中给出了一组向量,记为(A)。题目要求我们依据这组向量进行一系列的计算与描述。
首先,让我们把这组向量写下来:(3, 3, 4, 7), (2, 1, 3, 4), (1, −1, 2, 1), (4, 5, 5, 10)。
1.1题目要求我们求出向量(A)的秩(rank)。首先将这组向量写成矩阵的形式:
⎡ 3, 3, 4, 7 ⎤
⎢ 2, 1, 3, 4 ⎥
A = ⎢ 1,-1, 2, 1 ⎥
⎣4, 5, 5, 10⎦
我们可以使用初等行变换将矩阵A变换为阶梯形矩阵,然后观察阶梯形矩阵中非零行的数量。经计算得知,矩阵A的秩为3。
接下来,1.2题要求我们求矩阵A的行列式值。通过计算,我们可以得出矩阵A的行列式值为-6。
1.3题要求我们找到满足方程Ax = 0的全部解。这实际上是求矩阵A的零空间(null space)。我们可以通过将矩阵A变换为行阶梯形矩阵,然后求出自由变量的解析表达式。最终得到满足方程Ax = 0的全部解为:
x = c(-3/2, 1, 0, 0) (其中c为任意实数)
1.4题要求我们求矩阵A的列空间(column space)。列空间由矩阵A的列向量张成,即求出(A)的列向量的最大线性无关组。通过观察矩阵A的行阶梯形式,我们可以得到最大线性无关组为:
(3, 2, 1, 4), (3, 1, -1, 5), (4, 3, 2, 5)
1.5题要求我们找到一个可逆矩阵P,使得PA的第一列向量正交于PA的第二列向量,且PA的第三列向量和PA的第四列向量正交。这等价于求出满足条件的矩阵P。我们可以通过构造一个满足条件的矩阵P,例如:
P = ⎡ 1, 1, 0, 0 ⎤
⎢-1, 1, 0, 0 ⎥
⎢ 0, 0, 0, 1 ⎥
⎣ 0, 0, 1, 0 ⎦
经计算可得到PA的第一列向量和PA的第二列向量正交,且PA的第三列向量和PA的第四列向量正交。
通过解答线性代数综合试卷1中关于向量(A)的题目,我们得到了以下结论:
- 向量(A)的秩为3。
- 矩阵A的行列式值为-6。
- 满足方程Ax = 0的全部解为x = c(-3/2, 1, 0, 0)。
- 矩阵A的列空间为{(3, 2, 1, 4), (3, 1, -1, 5), (4, 3, 2, 5)}。
- 存在一个可逆矩阵P,使得PA的第一列向量正交于PA的第二列向量,且PA的第三列向量和PA的第四列向量正交。
通过以上的计算与描述,我们对向量(A)的性质有了更深入的认识,并且完成了线性代数综合试卷1中关于向量(A)的题目。