分支限界法解决任务分配优化问题

任务分配问题是组合优化问题的一种，主要涉及将n个不同的任务分配给n个人，每个任务与人员之间有不同的成本。这个问题的目标是寻找使得总成本最小的最佳分配方案。在这个场景中，任务和人员之间的成本关系可以用成本矩阵来表示，如给出的例子中，矩阵显示了每对任务-人员的成本。 分支限界法是一种常用的搜索算法，用于解决此类组合优化问题。在任务分配问题中，关键步骤包括： 1. **定义上界和下界**: - 上界可以通过贪心策略计算得出，比如选择每一步最便宜的任务分配，如将任务2分配给人员a，任务3给b，以此类推，得到的总成本14作为初步估计。 - 下界则通过分析每个人的最低成本，即对角线上的最小值相加得到，例如在示例中，人员a、b、c、d分别执行所有任务的最小代价分别是2、3、1和4，总和为10，这提供了一个基本的下限，但实际最优解应该在这个范围内。 2. **构建搜索空间树**: - 搜索过程从根节点开始，没有分配任何任务时，目标函数值为所有人的最低成本之和。随着决策的分支，每个节点代表一个可能的任务分配状态，其目标函数值等于已分配任务的成本加上剩余任务分配的最低成本。 - 对于每个节点，计算限界函数，即目标函数的下界。如果目标函数值小于或等于上界，那么这个节点值得进一步探索；反之，如果目标函数值大于上界，该节点被剪枝，因为一定不会找到比当前下界更好的解。 3. **分支与剪枝**: - 如在节点2分配任务1给人员a，导致目标函数值17，由于超过[10,14]范围，该节点被舍弃。接着，在节点3分配任务2给人员a，目标函数值10满足范围，进入待处理节点表PT。 - 继续这一过程，对其他节点进行同样的评估，直到找到满足条件的最优解或者搜索空间穷尽。 4. **搜索结束条件**: - 当搜索到的节点满足目标函数的范围，或者所有可能的分支都被探索过，算法停止，此时找到的就是成本最小的任务分配方案。 任务分配问题的分支限界法应用涉及对搜索空间的高效管理和剪枝策略，确保在有限的时间内找到全局最优解。这种方法对于复杂的问题具有良好的性能，特别是在任务和人员众多，且成本关系复杂的情况下。