根轨迹法分析：开环极点与闭环性能

"根轨迹法是经典控制理论中的重要分析工具，由W.R.Evans在1948年提出，用于分析系统参数变化对闭环极点的影响。它通过开环传递函数，从零点和极点的分布出发，描绘出闭环系统特征根在s平面上的轨迹，从而研究系统的动态性能。根轨迹分为常义根轨迹和广义根轨迹，分别对应参数k在正区间和负区间的变化。主要根轨迹是k在[0, ∞)变化时的轨迹，辅助根轨迹是k在(-∞, 0]变化时的轨迹，两者合称全根轨迹。 根轨迹的绘制遵循一系列基本法则，其中包括实轴上的分布规则。例如，在实轴上两个相邻的开环极点之间是根轨迹段，意味着存在分离点；而在两个相邻的开环零点之间则存在会合点。如果一个开环零点和一个开环极点之间是根轨迹段，那么可能同时有分离点和会合点，也可能都没有。这些点可以是实数，也可以是复数。此外，两个相邻的复极点或复零点之间也可能存在分离点或会合点。 以开环传递函数G(s)和H(s)为例，闭环传递函数C(s) = G(s)H(s)/(1 + G(s)H(s))，其特征方程为1 + G(s)H(s) = 0。当开环传递函数的某个参数k变化时，特征方程的根，即闭环极点s1,2也会随之变化，形成根轨迹。例如，如果G(s)有一个零点s0和一个极点s1，随着k增大，s1会沿着根轨迹移动，而s0会与s1相遇并合并，形成新的根轨迹段。 根轨迹方程描述了这种变化关系，通常写为s = f(k)，其中f(k)是关于k的函数。这些方程帮助我们理解闭环极点如何随着系统参数的变化而移动，从而评估系统的稳定性、响应速度和调节性能。在实际应用中，通过绘制根轨迹图形，工程师可以直观地分析系统性能，并进行控制器设计以优化系统的动态行为。" 这段内容详细阐述了根轨迹的概念、分类和绘制规则，以及其在控制系统分析中的应用，对于理解系统的动态特性具有重要意义。