没有合适的资源?快使用搜索试试~ 我知道了~
首页茆诗松《概率论与数理统计教程》LaTex版:从实例探索统计与概率
茆诗松《概率论与数理统计教程》LaTex版:从实例探索统计与概率
需积分: 0 7 下载量 64 浏览量
更新于2024-06-30
收藏 3.58MB PDF 举报
茆诗松、程依明和濮晓龙三位作者合著的经典教材《概率论与数理统计教程》是一本针对全国高等院校数学系与统计系学生的专业教材,旨在通过丰富的背景、创新的教学方法和引人入胜的结论,激发学生对概率论与数理统计的兴趣。该书被列为“国家级十五规划教材”和“高等教育百门精品课程教材建设项目”,彰显了其权威性和重要性。 本书共分为八章,前四章深入浅出地讲解概率论,特别注重随机变量的定义,将这一概念分为直观与严谨两个阶段,以便学生逐步建立完整理解。第一章引入随机变量表示事件的直观概念,而在第二章则进一步强化其严格定义。在概率定义方面,书中采用公理化系统,区分了频率、古典概率、几何概率和主观概率等不同的概率概念,为学生提供多元理解。 数理统计部分则从实际数据出发,强调问题的提出和解决,如总体、抽样分布、检验拒绝域等内容有所改进,增加了描述性统计和贝叶斯统计的初步介绍,使学生能够全面理解统计学的各个方面。书中还详细阐述了分位数、检验的p值、零概率事件的极限理解以及渐近分布等概念,并辅以超过100幅图表,以增强理解和记忆。 作为入门教材,作者试图避免一开始就过于抽象,而是引导学生在“野外”领略概率统计的实际应用,通过贴近生活和社会实际的大量实例(约250个),让学生在实践中感受到概率论与数理统计的魅力,从而体会到不同于传统数学教科书的独特学习体验。作者强调通过偶然性中的规律性证明和讨论,帮助学生深化理解,确保所学知识不仅仅是理论,而是有源头活水和深厚根基。 《概率论与数理统计教程》是一本既注重理论基础又紧密联系实际生活的教材,通过深入浅出的方式,旨在培养学生的实际应用能力和对统计学的热爱,使其能在快速发展的经济环境中灵活运用所学知识。
资源详情
资源推荐
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/86327397/bg10.jpg)
1.1 随机事件及其运算 –16/370–
事件交的对立等于对立的并: A \ B D A [ B: (1.1.7)
事件运算的对偶律是很有用的公式. 这些性质是不难证明的, 在此我们用集合论的语言证明
其中的 (1.1.6) 式.
(1.1.6) 式的证明
设 ! 2 A [ B, 即 ! … A [ B, 这表明 ! 既不属于 A, 也不属于 B, 这意味着 ! … A 和 ! … B
同时成立, 所以 ! 2 A 与 ! 2 B 同时成立, 于是有 ! 2 A \ B, 这说明
A [ B A \ B:
反之, 设 ! 2 A \ B, 即同时有 ! 2 A 和 ! 2 B, 从而同时有 ! … A 和 ! … B, 这意味着 ! 不
属于 A 与 B 中的任一个, 即 ! … A [ B, 也就是有 ! 2 A [ B, 这说明
A [ B A \ B:
综合上述两方面, 可得
A [ B D A \ B:
(1.1.6) 式得证.
德莫根公式可推广到多个事件及可列个事件场合:
n
[
iD1
A
i
D
n
\
iD1
A
i
I
C1
[
iD1
A
i
D
C1
\
iD1
A
i
I (1.1.8)
n
\
iD1
A
i
D
n
[
iD1
A
i
I
C1
\
iD1
A
i
D
C1
[
iD1
A
i
: (1.1.9)
1.1.7 事件域
在此我们要给出的“事件域”概念, 目的是为下一节定义事件的概率作准备.
所谓的“事件域”从直观上讲就是一个样本空间中某些子集组成的集合类, 以后记事件域为
F .
当样本空间是实数轴上的一个区间时, 可以人为地构造出无法测量其长度的子集, 这样的子
集常被称为不可测集. 如果将这些不可测集也看成是事件, 那么这些事件将无概率可言, 这是我们
不希望出现的现象, 为了避兔这种现象出现, 我们没有必要将连续样本空间的所有子集都看成是
事件, 只需将我们感兴趣的子集(又称可测集)看成是事件即可.
现在的问题是: 我们应该对哪些子集感兴趣, 或换句话说, F 中应该有哪些元素? 首先 F 应
该包括 ˝ 和 ∅; 其次应该保证事件经过前面所定义的各种运算(并、交、差、对立)后仍然是事件,
即 F 要对集合的运算有封闭性. 经过研究人们发现
交的运算可通过并与对立来实现(德莫根公式).
差的运算可通过对立与交来实现(A B D AB).
这样一来, 可给出事件域的定义如下.
定义 1.1.1. 设 ˝ 为一样本空间, F 为 ˝ 的某些子集所组成的集合类, 如果 F 满足:
1. ˝ 2 F ;
2. 若 A 2 F , 则对立事件 A 2 F ;
3. 若 A
n
2 F , 1; 2; , 则可列并
S
C1
nD1
A
n
2 F .
则称 F 为一个事件域, 又称为 代数.
在概率论中, 又称 .˝; F / 为可测空间, 这里“可测”是指 F 中都是有概率可言的事件.
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/86327397/bg11.jpg)
1.1 随机事件及其运算 –17/370–
例 1.1.10: 常见的事件域
1. 若样本空间只含两个样本点: ˝ D ¹!
1
; !
2
º, 记 A D ¹!
1
º, A D ¹!
2
º, 则其事件域为 F D
¹∅; A; A; ˝º.
2. 若样本空间含有 n 个样本点: ˝ D ¹!
1
; !
2
; ; !
n
º, 则其事件域 F 是由空集 ∅、n 个单元
素集、
n
2
个双元素集、
n
3
个三元素集……和 ˝ 组成的集合类, 这时 F 中共有
n
0
C
n
1
C
n
2
C C
n
n
D 2
n
个事件.
3. 若样本空间含有可列个样本点: ˝ D ¹ !
1
; !
2
; ; !
n
; º, 则其事件域 F 是由空集 ∅、可列
个单元素集、可列个双元素集……可列个 n 个元素集……和 ˝ 组成的集合类, 这时 F 是由
可列个的可列个(仍为可列个)元素(事件)组成.
4. 若样本空间含有全体实数: ˝ D .1; C1/ D R. 这时事件域 F 中的元素无法一一列出, 而
是由一个基本集合类逐步扩展形成, 具体操作如下:
取基本集合类 F D“全体半直线组成的类”, 即
F D ¹.1; x/I1 < x < C1º:
利用事件域的要求, 首先把有限的左闭右开区间扩展进来:
Œa; b/ D .1; b/ .1; a/; 其中a; b 为任意实数:
再把闭区间、单点集、左开右闭区间、开区间扩展进来:
Œa; b D
C1
\
nD1
Œa; b C 1=n/;
¹bº D Œa; b Œa; b/;
.a; b D Œa; b ¹aº;
.a; b/ D Œa; b/ ¹aº:
最后用 (有限个或可列个) 并运算和交运算把实数集中一切有限集、可列集、开集、闭集
都扩展进来.
经过上述几步扩展所得之集的全体就是人们希望得到的事件域 F , 因为它满足事件城的定
义. 这样的事件域 F 又称为波雷尔(Borel)事件城, 域中的每个元素(集合)又称为波雷尔
集, 或称为可测集, 这种可测集都是有概率可言的事件.
- 习 题 1.1
1. 写出下列随机试验的样本空间:
(1) 抛三枚硬币;
(2) 抛三颗骰子;
(3) 连续抛一枚硬币, 直至出现正为之;
(4) 在某十字路口, 一小时内通过的机动车辆数;
(5) 某城市一天内的用电量.
2. 在抛三枚硬币的试验中写出下列事件的集合表示
:
A D“至少出现一个正面”;
B D“最多出现一个正面”;
C D“恰好出现一个正面”;
D D“出现三面相同”.
3. 设 A、B、C 为三事件, 试表示下列事件:
(1) A、B、C 都发生或都不发生;
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/86327397/bg12.jpg)
1.2 概率的定义及其确定方法 –18/370–
(2) A、B、C 中不多于一个发生;
(3) A、B、C 中不多于两个发生;
(4) A、B、C 中至少有两个发生.
4. 请指明以下事件 A 和 B 间的关系:
(1) 检查两件产品, 记事件 A D“至少有一件不合格产品”, B D“两次检查结果不同”.
(2) 设 T 表示轴承寿命, 记事件 A D ¹T > 5000 hº, B D ¹T > 8000 hº.
5. 设 X 为随机变量, 其样本空间为 ˝ D ¹0 6 T 6 2º, 记事件 A D ¹0:5 < X 6 1º, B D ¹0:25 6
X < 1:5º. 写出下列事件:
(1) AB,
(2) A [ B,
(3) AB,
(4) A [ B.
6. 对飞机进行两次射击, 每次射一弹, 设 A D ¹ 恰有一弹击中飞机 º, B D ¹ 至少有弹击中飞机 º,
C D ¹ 两弹都击中飞机 º, D D ¹ 两弹都没击中飞机 º. 又设随机变量 X 为击中飞机的次数, 试
用 X 表示事件 A, B, C , D. 进一步问 A, B, C , D 中哪些是互不相容的事件? 哪些是对立的事
件?
7. 试问下列命题是否成立?
(1) A .B C / D .A B/ [ C:
(2) 若 AB D ∅ 且 C A, 则 BC D ∅.
(3) .A [ B/ B D A.
(4) .A B/ [ B D A.
8. 试用维恩图说明, 当事件 A 与 B 互不相容时, 能否得出结论 A 与 B 相容.
9. 请叙述下列事件的对立事件:
(1) A D“掷两枚硬币, 皆为正面”;
(2) B D“射击三次, 皆命中目标”;
(3) C D“加工四个零件, 至少有一个合格品”.
10. 如果 A 与 B 互为对立事件, 证明: A 与 B 也互为对立事件.
11. 设 F 为一事件域, 若 A
n
2 F , n D 1; 2; , 试证:
(1) ∅ 2 F ;
(2) 有限并
S
n
iD1
A
i
2 F , n > 1;
(3) 有限交
T
n
iD1
A
i
2 F , n > 1;
(4) 可列交
T
C1
iD1
A
i
2 F ;
(5) 差运算 A
1
A
2
2 F .
1.2 概率的定义及其确定方法
在这一节中, 我们要给出概率的定义及其确定方法, 这是概率论中最基本的个问题. 简单而直
观的说法就是: 概率是随机事件发生的可能性大小, 对此我们先看下面一些经验事实:
1. 随机事件的发生是带有偶然性. 但随机事件发生的可能性是有大小之分的, 例如口袋中有 10
只相同大小的球, 其中 9 只黑球, 1 只红球, 从口袋中任取 1 球, 人们的共识是: 取出黑球的可
能性比取出红球的可能性大
;
2. 随机事件发生的可能性是可以设法度量的, 就好比一根木棒有长度, 一块土地有面积一样.
例如抛一枚硬币, 出现正面与出现反面的可能性是相同的, 各为 1=2. 足球裁判就用抛硬币的
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/86327397/bg13.jpg)
1.2 概率的定义及其确定方法 –19/370–
方法让双方队长选择场地, 以示机会均等;
3. 在日常生活中, 人们对一些随机事件发生的可能性大小往往是用百分比(0 到 1 之间的一个
数)进行度量的. 例如购买彩券后可能中奖, 可能不中奖, 但中奖的可能性大小可以用中奖
率来度量; 抽取一个产品可能为合格品, 也可能为不合格品, 但产品质量的好坏可以用不合
格品率来度量; 新生要儿可能为男孩, 也可能为女孩, 但生男孩的可能性可以用男婴出生率
来度量.
在概率论发展的历史上, 曾有过概率的古典定义、概率的几何定义、概率的频率定义和概率的
主观定义. 这些定义各适合一类随机现象, 那么如何给出适合一切随机现象的概率的最一般的定
义呢? 1900 年数学家希尔伯特 (1862-1943) 提出要建立概率的公理化定义以解决这个问题, 即以
最少的几条本质特性出发去刻画概率的概念. 1933 年前苏联数学家柯尔莫哥洛夫 (1903-1987) 首
次提出了概率的公理化定义, 这个定义既概括了历史上几种概率定义中的共同特性, 又避免了各
自的局限性和含混之处, 不管什么随机现象, 只有满足定义中的三条公理, 才能说它是概率. 这一
公理化体系迅速获得举世公认, 是概率论发展史上的一个里程碑. 有了这个公理化定义后, 概率论
得到了很快的发展.
1.2.1 概率的公理化定义
定义 1.2.1. 设 ˝ 为一个样本空间, F 为 ˝ 的某些子集组成的一个事件域. 如果对任一事件 A 2
F
,
定义在
F
上的一个实值函数
P .A/
满足
:
1. 非负性公理: 若 A 2 F , 则 P .A/ > 0;
2. 正则性公理: P .˝/ D 1;
3. 可列可加性公理: 若 A
1
, A
2
, …, A
n
, …, 互不相容, 有
P
C1
[
iD1
A
i
D
C1
X
iD1
P .A
i
/; (1.2.1)
则称 P .A/ 为事件 A 的概率, 称三元素 .˝; F ; P/ 为概率空间.
概率的公理化定义刻画了概率的本质, 概率是集合 (事件) 的函数, 若在事件域 F 上给出一个
函数, 当这个函数能满足上述三条公理, 就被称为概率; 当这个函数不能满足上述三条公理中任一
条, 就被认为不是概率.
公理化定义没有告诉人们如何去确定概率. 历史上在公理化定义出现之前概率的频率定义、
古典定义、几何定义和主观定义都在一定的场合下, 有着各自确定概率的方法, 所以在有了概率的
公理化定义之后, 把它们看作确定概率的方法是恰当的. 下面先介绍在确定概率的古典方法中大
量使用的排列与组合公式, 然后分别讲述确定概率的方法.
1.2.2 排列与组合公式
排列与组合都是计算“从 n 个元素中任取 r 个元素”的取法总数公式, 其主要区别在于: 如果
不讲究取出元素间的次序, 则用组合公式, 否则用排列公式; 而所谓讲究元素间的次序, 可以从实
际问题中得以辨别, 例如两个人相互握手是不讲次序的, 而两个人排队是讲次序的, 因为“甲右乙
左”与“乙右甲左”是两件事.
排列与组合公式的推导都基于如下两条计数原理:
1. 乘法原理: 如果某件事经 k 个步骤才能完成, 做第一步有 m
1
种方法, 做第二步有 m
2
种方法,
…, 做第 k 步有 m
k
种方法. 那么完成这件事共有 m
1
m
2
m
k
种方法.
譬如, 甲城到乙城有 3 条旅游线路, 由乙城到丙城有 2 条旅游线路, 那么从甲城经乙城去丙城
共有 3 2 D 6 条旅游线路.
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/86327397/bg14.jpg)
1.2 概率的定义及其确定方法 –20/370–
2. 加法原理: 如果某件事可由 k 类不同途径之一去完成, 在第一类途径中有 m
1
种完成方法, 在
第二类途径中有 m
2
种完成方法, …, 在第 k 类途径中有 m
k
种完成方法, 那么完成这件事共
有 m
1
C m
2
C C m
k
种方法.
譬如, 由甲城到乙城去旅游有三类交通工具: 汽车、火车和飞机. 而汽车有 5 个班次, 火车有
3 个班次, 飞机有 2 个班次, 那么从甲城到乙城共有 5 C 3 C 2 D 10 个班次供旅游者选择.
排列与组合的定义及其计算公式如下.
1. 排列: 从 n 个不同元素中任取 r.r 6 n/ 个元素排成一列 (考虑元素先后出现次序), 称此为一
个排列, 此种排列的总数记为 P
r
n
, 按乘法原理, 取出的第一个元素有 n 种取法, 取出的第二
个元素有 n 1 种取法…取出的第 r 个元素有 n r C 1 种取法, 所以有
P
r
n
D n .n 1/ .n r C 1/ D
nŠ
.n rŠ/
: (1.2.2)
若 r D n, 则称为全排列, 记为
n
. 显然, 全排列 P
n
D nŠ.
2. 重复排列: 从 n 个不同元素中每次取出一个, 放回后再取下一个, 如此连续取 r 次所得的排
列称为重复排列, 此种重复排列数共有 n
r
个. 注意这里的 r 允许大于 n.
3. 组合: 从 n 个不同元素中任取 r.r 6 n/ 个元素并成一组 (不考虑元素间的先后次序), 称此为
一个组合, 此种组合的总数记为
n
r
或 C
r
n
. 按乘法原理此种组合的总数为
n
r
!
D
P
r
n
rŠ
D
n.n 1/ .n r C 1/
rŠ
D
nŠ
rŠ.n r/Š
: (1.2.3)
在此规定 0Š D 1 与
n
0
D 1.
4. 重复组合: 从 n 个不同元素中每次取出一个, 放回后再取下一个, 如此连续取 r 次所得的组
合称为重复组合, 此种重复组合总数为
nCr1
r
. 注意这里的 r 也允许大于 n.
上述四种排列组合及其总数计算公式,在确定概率的古典方法中经常使用,但在使用中要注
意识别有序与无序、重复与不重复。
1.2.3 确定概率的频率方法
确定概率的频率方法是一种最常用的方法, 其基本思想是:
1. 与考察事件 A 有关的随机现象可大量重复进行.
2. 在 n 次重复试验中, 记 n.A/ 为事件 A 出现的次数, 又称 n.A/ 为事件 A 的频数, 称
f
n
.A/ D
n.A/
n
(1.2.4)
为事件 A 出现的频率.
3. 人们的长期实践表明: 随着试验重复次数 n 的增加, 频率 f
n
.A/ 会稳定在某一常数 a 附近.
我们称这个常数为频率的稳定值. 这个频率的稳定值就是我们所求的概率.
4. 频率方法的缺点是: 在现实世界里, 人们无法把一个试验无限次地重复下去, 因此要精确获
得频率的稳定值是困难的. 但频率方法提供了概率的一个可供想像的具体值, 并且在试验重
复次数 n 较大时, 可用频率给出概率的一个近似值, 这一点是频率方法最有价值的地方. 在
统计学中就是如此做的, 且称频率为概率的估计值.
容易验证: 用频率方法确定的概率满足公理化定义, 它的非负性与正则性是显然的, 而可加性
只需注意到: 当 A 与 B 互不相容时, 计算 A [ B 的频数可以分别计算的 A 的频数和 B 的频数, 然
后再相加, 这意味着 n.A [ B/ D n.A/ C n.B/. 从而有
f
n
.A [ B/ D
n.A [ B/
n
D
n.A/ C n.B/
n
D
n.A/
n
C
n.B/
n
D f
n
.A/ C f
n
.B/:
剩余369页未读,继续阅读
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![](https://profile-avatar.csdnimg.cn/96e24d51754f47e9bf04c813e8562664_weixin_35775778.jpg!1)
村上树树825
- 粉丝: 22
- 资源: 292
上传资源 快速赚钱
我的内容管理 展开
我的资源 快来上传第一个资源
我的收益
登录查看自己的收益我的积分 登录查看自己的积分
我的C币 登录后查看C币余额
我的收藏
我的下载
下载帮助
![](https://csdnimg.cn/release/wenkucmsfe/public/img/voice.245cc511.png)
最新资源
- 多模态联合稀疏表示在视频目标跟踪中的应用
- Kubernetes资源管控与Gardener开源软件实践解析
- MPI集群监控与负载平衡策略
- 自动化PHP安全漏洞检测:静态代码分析与数据流方法
- 青苔数据CEO程永:技术生态与阿里云开放创新
- 制造业转型: HyperX引领企业上云策略
- 赵维五分享:航空工业电子采购上云实战与运维策略
- 单片机控制的LED点阵显示屏设计及其实现
- 驻云科技李俊涛:AI驱动的云上服务新趋势与挑战
- 6LoWPAN物联网边界路由器:设计与实现
- 猩便利工程师仲小玉:Terraform云资源管理最佳实践与团队协作
- 类差分度改进的互信息特征选择提升文本分类性能
- VERITAS与阿里云合作的混合云转型与数据保护方案
- 云制造中的生产线仿真模型设计与虚拟化研究
- 汪洋在PostgresChina2018分享:高可用 PostgreSQL 工具与架构设计
- 2018 PostgresChina大会:阿里云时空引擎Ganos在PostgreSQL中的创新应用与多模型存储
资源上传下载、课程学习等过程中有任何疑问或建议,欢迎提出宝贵意见哦~我们会及时处理!
点击此处反馈
![](https://img-home.csdnimg.cn/images/20220527035711.png)
![](https://img-home.csdnimg.cn/images/20220527035711.png)
![](https://img-home.csdnimg.cn/images/20220527035111.png)
安全验证
文档复制为VIP权益,开通VIP直接复制
![](https://csdnimg.cn/release/wenkucmsfe/public/img/green-success.6a4acb44.png)