西南交大研究生数值分析：牛顿法与插值多项式示例

西南交通大学2018-2019学年数值分析课程的上机实习题主要涉及两个部分：一是运用牛顿法求解函数零点，二是应用牛顿插值法计算插值多项式。 首先，关于牛顿法求函数零点，该方法是一种迭代优化算法，核心思想是利用函数在某点的切线来逼近零点。学生需要编写程序，输入函数表达式（例如y=x^4-1.4*x^3-0.48*x^2+1.408*x-0.512）、迭代初始值（如a=1）和截止误差（delta=0.0005）。程序通过递归地更新近似解（c），直到满足精度要求（即c与前一次迭代结果c0的差小于指定的误差）。在这个例子中，初始值a=1经过14次迭代后，计算出函数的零点约为0.80072，精度达到了0.00036062，表明了牛顿法的收敛性。 牛顿法的收敛速度取决于函数的光滑性和初始近似值的选择。如果函数在该区域内可微且二阶可导，且满足Lipschitz条件，那么牛顿法通常会达到Q线性收敛。在实际应用中，需要确保函数在迭代过程中不会出现奇异或发散情况。 接下来是牛顿插值法，这是一种根据给定数据点构造多项式的方法。用户输入n个插值节点的x和y坐标，以及要计算插值的点x0。程序通过构建拉格朗日基础多项式或基多项式，然后代入x0求值。这个过程展示了如何将离散的数据转化为连续的函数表示，这对于数值分析和数据拟合具有重要意义。 这个上机实习题要求学生熟练掌握数值分析中的基本算法——牛顿法和牛顿插值，理解它们的原理、实现步骤以及在实际问题中的应用。同时，通过编写和执行代码，学生可以加深对数值计算方法的理解，提升编程和问题解决能力。