计算几何入门：核心算法与向量运算详解

"本文主要介绍了计算几何的基础算法，包括向量运算、外积的应用以及如何判断点在直线上，这些都是计算几何入门的关键知识点。" 在计算几何领域，理解和掌握向量及其运算至关重要。向量是二维空间中表示方向和大小的数学对象，通常由其在坐标轴上的分量表示。在C++编程中，为了方便处理，可以定义一个结构体或类来表示向量，比如`struct point`，包含`double x`和`double y`分量，并重载加法、减法和乘法操作。对于二维向量，加法和减法直观地对应向量的终点平移，而乘法则有内积和外积两种形式。 内积（点积）表示两个向量在某一方向上的投影乘积，计算公式为 `α·β = x[0]*x[1] + y[0]*y[1]`，其几何意义是向量α在向量β上的投影长度与β长度的乘积。在编程时，由于浮点数误差，判断两个向量是否垂直不能直接用内积等于0，而是需要设定一个精度阈值，如 `fabs(α·β) < eps`。 外积（叉积）在二维空间中可用来计算向量所张成的平行四边形的有向面积，其公式为 `α×β = x[0]*y[1] - x[1]*y[0]`。通过判断外积的符号，可以应用右手定则来确定向量的方向关系，例如判断一个角是否为锐角、钝角还是直角。若外积为正，表示按照右手定则，向量呈顺时针旋转；为负，则为逆时针旋转；为零则意味着两向量共线。在计算几何中，外积常用于判断三点是否共线，同样需要考虑浮点误差。 点在直线上的判断通常基于向量的线性组合。如果点P的坐标可以表示为两点A和B的线性组合，即 `P = t*A + (1-t)*B` 对于某个实数t，那么点P就在直线AB上。这个方法适用于无限直线，对于有限线段，还需要额外检查t的范围是否在0到1之间。 在实际编程中，处理浮点数的精度问题是非常关键的。避免使用除法、开方和三角函数，因为这些运算可能导致精度损失。当需要比较浮点数时，应使用如 `x < eps && x > -eps` 的方式，以确保在允许的误差范围内进行比较。此外，圆周率π的取值也需注意，可以使用近似值如3.141592654或使用`acos(-1)`来获得更精确的结果。角度与弧度的转换也需要了解，C/C++中的三角函数默认接受弧度作为输入。 理解这些计算几何的基础算法和细节对于解决几何问题至关重要，特别是向量的运算和外积的应用，它们是解决诸如判断点线关系、线线关系等问题的基础工具。