摄像机标定：世界坐标与摄像机坐标系的转换

"摄像机标定是计算机视觉领域中的关键技术，它涉及到世界坐标系与摄像机坐标系之间的转换，以及图像像素坐标到实际空间坐标的映射。此过程旨在确定摄像机的内在参数（如焦距、主点位置）和外在参数（如摄像机在世界坐标系的位置和姿态）。张正友教授提出的摄相机标定方法是常用的技术之一。" 在计算机视觉系统中，世界坐标系是一个全局参考框架，用于描述场景中物体的位置。摄像机坐标系则是相对于摄像机自身的坐标系统，而图像坐标系则表示在摄像机传感器上像素的位置。摄像机坐标系到图像坐标系的转换涉及到了摄像机的内参，包括焦距（f）和主点坐标（c），以及像素尺寸（dx, dy）。 摄像机模型通常用pinhole camera model来描述，其中，一个点在世界坐标系中的三维坐标（Xw, Yw, Zw）经过摄像机的投影后，在图像平面上映射为二维像素坐标（u, v）。这个转换过程可以通过一系列的几何关系和数学公式完成，其中包括透视投影和仿射变换。 世界坐标系到摄像机坐标系的转换首先需要考虑摄像机的外在参数，包括旋转矩阵R和位移向量T，它们描述了摄像机相对于世界坐标系的姿态和位置。然后，摄像机坐标系下的点(Xc, Yc, Zc)通过透视投影变换到图像坐标系，这个过程可以表示为： \[ \begin{bmatrix} u \\ v \\ 1 \end{bmatrix} = K \cdot \begin{bmatrix} R | T \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} X_c \\ Y_c \\ Z_c \\ 1 \end{bmatrix} \] 其中，K是内参数矩阵，包含了焦距、主点坐标和像素尺寸等信息。这个矩阵的形式通常是： \[ K = \begin{bmatrix} f_u & 0 & c_u \\ 0 & f_v & c_v \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] 其中，\( f_u \) 和 \( f_v \) 分别代表沿u和v轴的焦距，\( c_u \) 和 \( c_v \) 是主点在图像坐标系中的位置。 摄像机标定的方法有很多，包括传统的利用外部特征点的方法，例如 Tsai 的方法，该方法通过标定板上的已知点进行标定。此外，还有主动视觉方法，它们通过控制环境或者摄像机自身的运动来获取额外的信息以实现标定。最后，摄像机的自标定方法则是通过分析图像中的几何形状和结构信息，无需外部辅助设备也能完成标定。 标定的目标是求解这些参数，使得从世界坐标到图像坐标的映射尽可能准确，这对于诸如三维重建、物体检测、追踪等计算机视觉任务至关重要。通过标定，我们可以将图像上的像素坐标转换为真实世界的坐标，从而实现从二维图像到三维现实的桥梁。