(1)时频图在信号的瞬时频率处形成能量凝聚,从而出现局部峰值
[25,26]
,因此可通过计
算瞬时频率了解信号的时频分布特性;
(2)单解析信号$s(t) = \exp [{\text{j}}2\pi \theta (t)]$的瞬时频率可以通过对相位求导得
到,即
$$ {\text{IF}}[s(t)] = \frac{1}{{2\pi }}\frac{{{\text{d}}\theta (t)}}{{{\text{d}}t}} $$
因此多个单解析信号乘积的瞬时频率为各个单解析信号瞬时频率的和,即
$$ {{\rm{IF}}} [{s_1}(t) \times \cdots \times {s_J}(t)] = {{\rm{IF}}} [{s_1}(t)] + \cdots + {{\rm{IF}}} [{s_J}(t)] $$
(3)多分量信号的时频分布特性可以表示为多个单分量信号时频分布特性的组合,即
$$ {{\rm{IF}}} [{s_1}(t) + \cdots + {s_J}(t)] = {{\rm{IF}}} [{s_1}(t)] \cup \cdots \cup {{\rm{IF}}} [{s_J}(t)] $$
为验证上述结论,进行如下仿真:令${s_1}(t) = \exp [{\text{j}}60\pi \cos (4\pi t)]$,
${s_2}(t) = \exp ({\text{j}}1000\pi t)$,根据式(4)式(5)可得${{\rm{IF}}} [{s_1}(t){s_2}(t)] = -
120\pi \sin (4\pi t) {\text{ + }}500$,${{\rm{IF}}} [{s_1}(t) + {s_2}(t)] = [ - 120\pi \sin (4\pi t)]
\cup 500$,与图 2 所示时频分析结果相符。
图 2 两个信号乘积、加和的时频分布结果
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3.1 远场微动回波的时频分布特性
从式(2)可得远场微动回波的幅度为
$$ |{s_{\text{F}}}(t)| = L\sum\limits_{k = 0}^{K - 1} {{\text{|}}{{\rm{sinc}}} \left\{ {2\pi L\cos [{\varphi
_k}(t)]/\lambda } \right\}{\text{|}}} $$
显然,回波幅度受 sinc 函数调制,根据 sinc 函数性质可知,当$2\pi L\cos [{\varphi
_k}(t)]/\lambda = 0$,即${\varphi _k}(t) = \omega t + 2k\pi /K + {\varphi _0} = m\pi + \pi /2$,
$m \in \mathbb{Z}$时,回波幅度取得最大值。据此可求得$t = {\bar t_{m,k}}$或$t = {\tilde
t_{m,k}}$,其中${\bar t_{m,k}}$和${\tilde t_{m,k}}$的表达式如式(7)所示。