图像单应性变换推导及矩阵表示

单应性（homography）变换是一种在计算机视觉和图像处理领域中常见的二维几何变换，它用于在两张图像之间建立一对一对应关系，通常通过4对对应点来确定。这种变换在SLAM（Simultaneous Localization and Mapping，同时定位与建图）系统中扮演着关键角色，因为它能够处理图像中的像素坐标变换，实现相机移动下的场景理解和匹配。 矩阵在单应性变换中的作用至关重要，它将一个空间中的点坐标映射到另一个空间，使得相似的点对在不同的图像上保持相同的相对位置。在给定的公式中，单应性矩阵H被定义为一个3x3的矩阵： \[ H = \begin{bmatrix} h_{11} & h_{12} & h_{13} \\ h_{21} & h_{22} & h_{23} \\ h_{31} & h_{32} & h_{33} \end{bmatrix} \] 矩阵H的作用可以通过以下步骤来理解： 1. **坐标映射**：给定两个点的坐标 \( a = (x, y, 1)^T \) 和 \( b = (x', y', 1)^T \)，它们在同一个平面上，矩阵H将 \( a \) 映射到 \( b \) 的坐标。具体地，通过矩阵乘法 \( b = Ha^T \) 来实现： \[ \begin{align*} b &= \begin{bmatrix} h_{11} & h_{12} & h_{13} \\ h_{21} & h_{22} & h_{23} \\ h_{31} & h_{32} & h_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} h_{11}x + h_{12}y + h_{13} \\ h_{21}x + h_{22}y + h_{23} \\ h_{31}x + h_{32}y + h_{33} \end{bmatrix} \end{align*} \] 2. **线性方程组**：矩阵H与点的坐标相乘可以表示为一个线性方程组，如(1)和(2)所示，其中\( x' \) 和 \( y' \) 是未知数。通过解这个方程组，可以找到矩阵H的元素值，从而确定单应性变换。 3. **系数的求解**：为了得到H的系数，我们可以根据(3)中两个方程的对应关系，将点 \( (x, y, 1) \) 和 \( (x', y', 1) \) 代入，形成两个线性方程，例如： \[ \begin{cases} x' + y' + h_{31}x + h_{32}y + h_{33} = 0 \\ x + y + h_{11}x + h_{12}y + h_{13} = x' + y' + h_{31}x' + h_{32}y' + h_{33} \end{cases} \] 通过解这两个方程，我们可以找到H的九个系数，确保4对对应点在变换后保持相同的相对关系。 单应性变换在实际应用中非常广泛，比如在图像配准、三维重建、机器人导航以及自动驾驶等领域。理解并掌握单应性矩阵的推导和应用，对于从事计算机视觉和机器学习工作的工程师来说是必不可少的技能。