数值积分与微分：高斯求积与MATLAB实现

"科学计算与MATLAB - 中南大学材料科学与工程学院 - 主讲：唐建国 - 2013.10" 本讲座主要探讨了数值积分与微分的相关概念，特别是在MATLAB环境下的应用。数值积分是解决那些无法直接求得原函数或者函数解析形式未知的积分问题的方法。在实际的物理问题中，我们常常遇到这种情况，例如静电场的高斯定理和环路定理，这两个定理涉及到了积分计算，但在某些情况下，我们无法直接计算积分。 1. 引言 高斯定理和环路定理表明，积分在物理问题中的重要性。然而，当被积函数复杂或仅知离散数据时，需要采用近似计算方法。 2. 数值积分 - 矩形积分近似：简单地将积分区间划分为多个小矩形，然后求和所有矩形的面积来近似积分。 - 梯形积分近似：利用梯形代替矩形，提高精度，其平均值的思想使得误差减小。 - 抛物线形积分近似：通过构造抛物线进行积分近似，进一步提高精度。 - 牛顿-科茨公式：通过插值多项式来构建积分近似，如等距节点的梯形公式和辛普森公式。 - 自适应Simpson求积法：根据函数变化自动调整细分程度，提高计算效率。 - 高斯求积法：利用特定的节点和权重，构造具有高代数精度的积分公式，如两点Gauss求积公式，至少具有3次代数精度。 3. 数值微分 在函数的离散数据点上，通过差分方法估计导数。这在没有解析导数的情况下尤其有用。 4. MATLAB的积分和微分函数 MATLAB提供了内置的函数如`integral`和`diff`，用于数值积分和微分，简化了计算过程。 5. 小结 数值积分与微分是解决实际问题的重要工具，特别是在科学研究和工程计算中。MATLAB作为强大的科学计算工具，提供了便捷的实现手段。 数值积分和微分是处理复杂或不可解析的积分问题的关键方法，而MATLAB则提供了强大的工具来支持这些计算。通过理解并掌握这些方法，我们可以更有效地解决各种实际问题中的积分和微分挑战。