本文主要介绍了数量积的运算法则及其在机器学习、深度学习面试笔试中的应用，同时回顾了部分初等数学知识，包括集合论、容斥原理、二次函数和解不等式的方法。
数量积是向量运算中的一个基本概念，在几何和代数中有广泛应用，特别是在机器学习和深度学习的向量处理中。以下是数量积的一些关键法则和性质：
1. 乘法法则：
- 交换性：两个向量的数量积满足交换律，即`a·b = b·a`。
- 分配律：对于三个向量`a, b, c`，数量积满足`a·(b + c) = a·b + a·c`，但不满足结合律，即`(a·b)·c ≠ a·(b·c)`。
2. 模长和角度：
- 模长乘积：若`a`和`b`是两个向量，则`a·b = |a||b|cosθ`，其中`θ`是两向量之间的夹角，`|a|`和`|b|`分别为向量`a`和`b`的模长。
- 垂直与平行：
- 垂直：若`a·b = 0`，则向量`a`和`b`垂直，记作`a ⊥ b`。
- 平行：若存在实数`λ`使得`a = λb`（或`b = λa`），则`a`和`b`平行，记作`a ∥ b`。如果`a·b = |a||b|`，表示它们同向；如果`a·b = -|a||b|`，则反向。
3. 正方形的性质：
- 在正方形`ABCD`中，由于各边相等，所以`AB·BC = BC·AC = AC·AD = AD·AB`，设边长为`a`，则`a·a = a²`。
4. 共线向量：
- 如果向量`a`、`b`和`x`满足`a = λb`，且`x = μa`，则`x = μλb`，这意味着向量`x`与`b`共线且方向相同。例如，当`a = 2x`且`a = 2b`时，`x`和`b`共线且方向相同。
5. 单位向量的夹角：
- 若`a`和`b`是单位向量，夹角为`θ`，则`a·b = cosθ`。例如，如果夹角是`60°`，那么`a·b = cos60° = 1/2`。
6. 线段的定比分点：
- 这是一个几何问题，与向量数量积相关，不过这里没有给出具体的信息。
此外，还复习了一些初等数学知识：
- 集合论的基本关系，如元素与集合的关系，以及德摩根定律。
- 容斥原理用于计算集合的元素个数。
- 二次函数的三种形式：一般式、顶点式和零点式，以及如何通过它们解不等式。
- 解连不等式的方法，如通过比较函数值来判断实根的位置。
- 方程在某个区间上有一个实根的条件，以及与函数值比较的关系。
这些基础知识对于理解数量积的运算法则至关重要，同时也为解决机器学习和深度学习中的向量问题提供了基础。
我的内容管理
展开
