算法设计与分析基础：习题详解与欧几里得算法探讨

"这篇文档包含了算法设计与分析基础的习题解答，主要涉及算法的基本概念、欧几里得算法（Euclid算法）以及特定问题的解题思路，如农夫过河问题、过桥问题、二次方程求解和十进制转二进制的方法。" 在这份习题解答中，首先讨论了欧几里得算法，用于计算两个正整数的最大公约数（GCD）。题目1.1证明了gcd(m, n)等于gcd(n, m mod n)，这是欧几里得算法的基础。通过数学归纳和除法性质，证明了任意一对正整数m和n，它们的最大公约数与n和m除以n的余数的最大公约数相等。题目1.6解释了当第一个数小于第二个数时，欧几里得算法会进行一次交换，使得m变为n，n变为m，且这种情况只会发生一次。而在1.7中，讨论了算法在1到10之间取值时的最小区间和最大区间，分别只需要1次和5次除法。 接着，习题1.2提出了两个经典问题。第一个是“农夫过河”问题，农夫需要同时控制狼、山羊和白菜过河，防止狼吃掉山羊或山羊吃掉白菜。这是一个典型的约束条件下的路径规划问题，需要寻找一种策略确保所有物品安全过河。第二个是“过桥问题”，四个人和一个手电筒需要过桥，手电筒不能同时留在桥的两侧，同样需要找出有效的过桥方案。这两个问题都涉及到逻辑推理和状态空间的搜索。 习题还涉及了二次方程的解法。Quadratic算法给出了求解形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程的伪代码，通过判别式D判断方程的根的情况，当D > 0时，方程有两个实根；D = 0时，有一个实根；D < 0时，无实根。算法提供了完整的解题步骤，包括计算根的公式。 最后，习题介绍了将十进制整数转换为二进制整数的算法。这个过程通常称为除2取余法，算法通过不断将十进制数除以2并记录余数，直到商为0，然后将得到的余数逆序排列，就得到了对应的二进制表示。 通过这些习题解答，读者可以深入理解算法设计的基本原理，熟悉解决实际问题的策略，以及掌握常用算法的实现。这些知识对于学习计算机科学和进一步的算法分析至关重要。