理解支持向量机：最大间隔与优化目标

"支持向量机讲义.pdf" 支持向量机（Support Vector Machine, SVM）是一种广泛应用的监督学习模型，主要用于分类和回归分析。它通过寻找最优的决策边界来达到最佳分类效果，尤其适用于小样本和高维空间的数据。在处理难以划分的数据集时，SVM展现出强大的能力。 在SVM中，决策边界被称为最大间隔超平面，它的主要目标是找到离两类样本最近的点，这些点称为支持向量，它们决定了分类边界的宽度。支持向量机的核心思想是构建一个能够最大化类别间隔的模型，从而提高分类的泛化能力。间隔越大，意味着模型对新样本的误分类容忍度更高，这在一定程度上降低了过拟合的风险。 数据集由一系列特征向量X1, X2, ..., Xn组成，每个特征向量都有对应的类别标签Y1, Y2, ..., Yn，Y可以取+1或-1，分别代表正例和负例。SVM的决策方程通常表示为 w·x + b = 0，其中w是决定超平面方向的权重向量，b是偏置项，x是特征向量，而符号·表示内积运算。为了确保分类正确，我们希望找到一个w和b，使得所有正例满足w·x + b > 0，所有负例满足w·x + b < 0。 在实际应用中，为了简化问题，通常会进行核函数变换，将数据从原始特征空间映射到一个更高维的空间，使得在新空间中容易找到线性可分的超平面。这一步骤对于处理非线性问题至关重要。 SVM的优化目标是最大化间隔，即最小化w的范数（L2范数，即||W||的平方）。引入拉格朗日乘子α，可以将原问题转化为一个带约束的优化问题，目标函数变为minimize (1/2) * w^2，同时满足约束条件α_i * (y_i * (w·x_i + b) - 1) = 0，其中α_i是非负的拉格朗日乘子。 通过求解拉格朗日函数的偏导数，可以得到关于w、b和α的KKT条件。然后，通过解这些条件，我们可以找出最优的w、b和α值，进而确定分类超平面。在求解过程中，我们会发现只有支持向量对最终的超平面有直接影响，其他样本则不会影响决策边界的位置。 例如，假设有一个包含三个样本（两个正例，一个负例）的数据集，通过求解α的偏导数并找到满足约束条件的α值，我们可以找到最优的支持向量组合，从而确定超平面。在这个过程中，可能会遇到多个解，但最终会选择使得间隔最大的那个解。 支持向量机通过寻找最大间隔的决策边界，结合核函数处理非线性问题，以及利用拉格朗日乘子法求解优化问题，提供了一种有效的机器学习方法。在实际应用中，SVM被广泛用于文本分类、生物信息学、图像识别等领域，表现出良好的性能。