随机过程概论：分布函数与数字特征

"该资源是一份关于随机过程的PPT课件，主要涵盖了概率论、随机过程的基本概念、分布函数、数字特征以及重要的随机过程，包括泊松过程、Markov链（离散时间与连续时间）等内容。" 本文将详细阐述随机过程相关的重要知识点，从概率论的基础到随机过程的高级概念。 首先，概率论是随机过程的基础。一个概率空间由样本空间、事件集合和概率测度三者构成，用于描述随机试验的所有可能结果及其发生的概率。随机变量是概率空间上的实值函数，分为离散型和连续型两种。离散型随机变量的取值是有限或可数无限的，如伯努利随机变量；而连续型随机变量则在某一区间内连续取值，如正态随机变量。随机变量的数字特征包括期望（均值）、方差、协方差和相关函数等，这些特征用于衡量随机变量的集中趋势和波动程度。 随机过程是多个随机变量的集合，它描述的是随机现象随时间演变的规律。其中，分布函数用于刻画随机过程在特定时间点的分布情况。例如，泊松过程是一种重要的随机过程，它具有均匀的到达率和独立增量特性。泊松过程的数字特征包括均值函数和方差函数，它们揭示了随机过程的变化规律。 Markov链是随机过程的一个特例，其特点是状态之间的转移只依赖于当前状态，而不受过去历史的影响。Markov链分为离散时间Markov链和连续时间Markov链。在离散时间Markov链中，状态间的转移概率由转移矩阵P表示，状态可以被分类为常返状态和非常返状态，常返状态又分为周期性和非周期性。状态空间的分解定理描述了如何将状态空间划分为不同类型的子集。而平稳分布是Markov链的一种特殊状态分布，满足无论初始状态如何，经过足够长时间，链的分布都将收敛到这个分布。 连续时间Markov链引入了转移速率矩阵Q，描述了状态间转移的速度。科尔莫戈罗夫微分方程是描述连续时间Markov链动态演变的数学工具，包括向后方程和向前方程，它们分别给出了概率矩阵随时间变化的动态关系。生灭过程是连续时间Markov链的一个子类，其中某些状态可以“出生”或“死亡”。 这份PPT涵盖了概率论和随机过程的核心概念，对于理解随机现象的统计性质以及建模分析具有重要价值。通过学习这些内容，读者能够深入理解随机变量的性质，掌握随机过程的分析方法，并能够运用这些知识解决实际问题。