n个随机变量和的分布函数
时间: 2023-09-08 13:04:20 浏览: 74
假设我们有n个随机变量X1, X2, ..., Xn,它们的分布函数分别为F1(x), F2(x), ..., Fn(x)。我们希望求取这n个随机变量的和Y = X1 + X2 + ... + Xn的分布函数。
首先,我们需要明确随机变量和的分布函数定义。随机变量和的分布函数FY(x)定义为:
FY(x) = P(Y ≤ x)
为了求取FY(x),我们可以使用逐步推导的方法。
当n = 1时,即只有一个随机变量X1时,其分布函数为FX1(x)。所以,FY(x) = FX1(x)。
当n = 2时,即有两个随机变量X1和X2时,我们可以利用事件的构造推导出FY(x)。当Y ≤ x时,意味着X1和X2的和小于等于x。我们可以将此事件分解为两个事件:X1 ≤ t1 且 X2 ≤ (x - t1),其中t1的取值范围可以是从负无穷到正无穷。所以,我们可以表达为:
FY(x) = ∫∫[X1 ≤ t1 且 X2 ≤ (x - t1)]fX1(t1)fX2(x - t1)d(t1)d(x - t1)
当n > 2时,我们可以使用递推的方法继续推导。即,我们可以将n个随机变量的和分解为前n-1个随机变量的和加上第n个随机变量:
Y = X1 + X2 + ... + Xn-1 + Xn
根据递推关系,我们可以得到:
FY(x) = ∫∫...∫[Y ≤ x]fX1(t1)fX2(t2)...fXn-1(tn-1)fXn(x - t1 - t2 - ... - tn-1)d(t1)d(t2)...d(tn-1)d(x - t1 - t2 - ... - tn-1)
在每一步中,我们都需要计算n维积分,可以利用数值方法或数学软件来求解。
综上所述,n个随机变量和的分布函数可以通过逐步推导和计算n维积分来求得。然而,对于大规模的n,计算过程可能会非常复杂和耗时,因此通常采用数值方法或近似方法来求解。