计算几何基础：线段属性与多边形面积

"8计算几何基础.ppt" 计算几何是一门研究几何形状和它们在计算机中的处理的学科，它在图形学、物理模拟、工程设计等多个领域有着广泛的应用。本讲座主要介绍了计算几何的一些基础概念，包括线段属性和多边形的面积与重心。 在第一单元中，讨论了线段的属性。虽然具体的内容没有详细展开，但通常线段的属性可能包括线段的长度、方向、与其它线段的关系（如平行、垂直、相交等）、线段上的点以及线段之间的交叉点检测。线段相交的检测是计算几何中的基本问题，传统方法可能涉及到坐标比较和方程求解，而新的方法可能更侧重于算法优化，例如使用扫面线算法或旋转卡壳算法，以提高效率和减少计算复杂性。 在第二单元，探讨了多边形的面积和重心。对于简单多边形，即不自交的多边形，可以采用不同的方法来计算其面积。最基础的是将多边形分割为若干个三角形，并累加每个三角形的面积。在解析几何中，这通常通过海伦公式进行，但这种方法可能计算量较大且易受浮点误差影响。而在计算几何中，更倾向于使用向量叉积来直接计算三角形的面积，因为这种方式计算量小且不容易引入精度问题。对于一个顶点为A、B、C的三角形，其面积可以表示为1/2 * (向量AB × 向量AC)的绝对值，这里的叉积表示向量的矢量积，其结果是另一个向量，其模长等于原两向量构成的平行四边形的面积，而面积的一半则是因为我们只需要平面面积而不是立体体积。 对于凸多边形，可以将其剖分为多个三角形，然后累加每个三角形的面积，这就是所谓的三角剖分。每个三角形的面积可以用向量叉积来快速计算，最后将所有三角形的面积相加即可得到整个凸多边形的面积。 即使面对凹多边形，上述公式依然有效。尽管凹多边形内可能存在洞或重叠部分，但只要将其视为由多个三角形组成，每个三角形的面积仍然是有向的，因此可以将所有这些有向面积相加，得到的总和会正确反映出多边形的实际面积。需要注意的是，凹多边形的三角剖分可能需要更复杂的算法来确保所有的三角形都在多边形内部。 计算几何中的重心是指多边形的质量中心，它可以通过对每个顶点的坐标乘以其邻接边的有向面积后进行平均得到。重心对于模拟物理现象或者进行几何变换时保持平衡非常重要。 总结来说，本讲座提供的计算几何基础知识涵盖了线段的属性和多边形的面积计算，这些都是计算几何领域中的核心概念。掌握这些基础知识对于理解和解决更复杂的几何问题至关重要。