高阶隐式差分格式在分数阶反应-子扩散方程中的稳定性和精度分析

"分数阶反应-子扩散方程的高阶隐式差分格式及其稳定性分析 (2011年)"，作者梁娜、叶超，发表于《湖南师范大学自然科学学报》2011年第34卷第6期。 本文研究的重点是针对带有初边值条件的一类分数阶反应-子扩散方程。分数阶微积分在近年来的科学研究中扮演了重要角色，因其能够更精确地描述某些物理和工程问题中的非局部或记忆效应。传统的二阶扩散方程无法完全捕捉到这些特性，而分数阶方程则能够弥补这一不足。 作者提出了一种新的高阶隐式差分格式，其局部截断误差为O(τ1+γ+τγh4)，这里的τ和h分别代表时间步长和空间步长，γ是分数阶导数的阶数。这种差分格式的设计是为了提高数值解的精度，使其在处理复杂动态过程时能更好地逼近真实解。文章中对格式的可解性进行了深入分析，确保了算法在实际应用中的可行性。 为了证明新格式的稳定性，作者采用了Fourier方法。Fourier分析是一种常用的稳定性分析工具，通过对差分格式的傅立叶变换，可以评估在各种频率下的稳定性属性。在本研究中，这种方法被用来证明新提出的隐式差分格式具有无条件稳定性，这意味着无论时间步长和空间步长选取如何，该格式都能保持稳定。 论文的最后部分，作者通过数值算例验证了理论分析的正确性和新格式的有效性。数值实验的结果表明，所设计的高阶隐式差分格式具有极高的精度，能够准确模拟分数阶反应-子扩散方程的动态行为，这对于理解和解决实际问题具有重要的理论和实践意义。 关键词涉及分数阶反应-子扩散方程、Riemann-Liouville分数阶导数、隐式差分格式以及稳定性分析。文章分类号为0241.8，文献标识码为A，文章编号为1002-2537(2011)06-006-06。 该研究为分数阶偏微分方程的数值求解提供了一种高效且稳定的计算方法，对于推动分数阶微积分在物理、化学、工程等领域的应用具有积极的贡献。