图的孤立断裂度与补图关系的研究

"本文探讨了图与补图孤立断裂度之间的关系，特别是在连通图G中，孤立断裂度sc(G)定义为max{(G-S)-ISI : S⊆C(G)}，其中(G-S)表示去掉集合S后图中孤立的点数，C(G)是图G的所有点割集。文章深入研究了这些度量在原图和补图中的性质，并与图的其他相关属性如点割、连通度、分支数、奇分支数、孤立顶点数和亏度等进行了关联分析。" 孤立断裂度是衡量图在去除一部分顶点后，剩余部分的连通性和孤立点数量的重要指标。在连通图G中，如果去除一个顶点集合S，使得(G-S)包含的孤立点数最多，那么这个S的孤立断裂度sc(G)反映了图的抗干扰能力。点割集C(G)中的每个S都是影响图连通性的关键集合，因为它可能导致图变得不连通。 文章引用了图论中的经典定理，如Tutte定理，它指出一个图有完美匹配当且仅当对所有S⊆V(G)，吻数(G-S)小于S的顶点数。这个定理对于理解图的最大匹配问题至关重要，而最大匹配与图的亏度def(G)有着密切联系，亏度衡量的是图中未被最大匹配覆盖的顶点数。 此外，定理2指出，如果S是哈密顿图G的一个顶点集合，那么(G-S)的分支数总是小于S的大小。这一结果激发了Jung引入断裂度的概念，即w(G)，用于研究图的哈密顿性。断裂度关注的是在去除顶点集S后，图的分支数减少程度与S大小的关系。 在补图G'中，图的性质会发生变化，例如原图中的连通可能在补图中变为不连通，反之亦然。因此，研究原图和补图的孤立断裂度可以帮助我们更好地理解图的结构和稳定性。文章通过深入分析这些度量，揭示了它们之间的相互作用和潜在规律，这对于网络可靠性、图的结构分析以及图的算法设计具有重要意义。 关键词涉及的"网络"和"可靠性"暗示了这些理论在实际应用中的重要性，如通信网络、计算机网络的故障恢复和性能优化等领域。通过理解和利用图的孤立断裂度，可以提高网络的鲁棒性和抗干扰能力，确保关键服务的连续性。 这篇论文在图论的框架下，深入探讨了孤立断裂度这一特性，及其在原图和补图中的表现，为理解和改进复杂网络的结构提供了理论支持。同时，通过对点割、连通度、分支数等相关参数的研究，文章为后续的图论研究和应用奠定了坚实的基础。