分段Hermite插值法解信赖域子问题

"这篇文章是关于信赖域算法在解决非线性优化问题中的应用，特别是提出了一种新的分段Hermite插值法来处理信赖域子问题。文章发表于2014年的《太原科技大学学报》，作者是于海波、王希云和李亮。" 在非线性优化领域，信赖域算法是一种常用且有效的数值计算方法，它具有良好的适定性和全局收敛性。该算法的核心在于每次迭代时需解决一个信赖域子问题。对于无约束优化问题，目标是找到使目标函数F(x)最小化的变量x，其中F(x)是连续可微的函数。 信赖域子问题的形式如下，它涉及到目标函数在当前迭代点g和Hessian矩阵B（或其近似）的使用： minimize q(δ) = (g + Bδ)^T(g + Bδ) subject to ||δ||_2 ≤ D, 这里的δ是搜索方向，D是预设的信赖域半径，而g和B分别代表目标函数的梯度和Hessian矩阵。当δ改变时，形成的曲线即为最优曲线。 为了求解这个子问题，作者提出了分段Hermite插值法。这种方法在Hessian矩阵正定的前提下，利用分段三次Hermite插值构造了一条曲线。分段三次Hermite插值是一种数学技巧，它可以更精确地逼近函数，尤其是当函数在不同区间有不同的行为时。 具体来说，当μ=0时，解δ*可以由B的逆与g的负向量直接相加得到；当μ>0时，通过解一元非线性方程来找到μ的值，从而确定δ*。这个方程涉及到函数y=f(μ)的计算，它表达了δ向量的长度与信赖域半径的关系。 文章证明了所提出的分段Hermite插值法生成的曲线路径的合理性，并通过数值实验展示了新算法的有效性和可行性。这种方法为信赖域算法提供了一个新的优化策略，尤其是在处理复杂非线性问题时，可能能提高算法的性能和收敛速度。 总结来说，这篇论文介绍了在信赖域算法框架下，如何利用分段Hermite插值法来解决信赖域子问题，这种方法对于非线性优化问题的求解具有潜在的贡献。通过理论分析和数值验证，作者证明了这种新方法的合理性和实用性。