理解EM算法：推导与实例分析

"这篇文档详细介绍了EM算法，包括它的起源、一个具体的实例和数学基础，同时探讨了其在参数估计和聚类等领域的应用。" EM（期望最大化）算法是一种在处理不完整或观测数据中寻找参数的最大似然估计方法。它由Ceppellini等人在1950年提出，并在后续的研究中被广泛发展，特别是在Dempster等人1977年的工作中得到了更多的关注。EM算法的主要目的是从不完全的数据中找到最佳的参数估计。 在提供的例子中，作者通过一个硬币投掷实验来阐述EM算法的工作原理。实验中存在两枚非均匀硬币A和B，它们投掷正面的概率分别为θA和θB。实验共进行了5次，每次随机选择一枚硬币投掷10次，记录正面出现的次数。为了估计θA和θB，我们需要两个随机变量X（记录正面次数）和Z（记录投掷的硬币类型）。 在有完整数据的情况下，即我们知道每次投掷的是哪枚硬币，可以使用极大似然估计（MLE）直接求解θA和θB。公式1给出了简单的估计方法：分别计算用硬币A和B投掷出正面的次数占总投掷次数的比例。 然而，如果Z的数据缺失，我们无法直接使用MLE。此时，EM算法就显得尤为重要。EM算法分为两个步骤：E（期望）步骤和M（最大化）步骤。在E步骤中，我们根据当前估计的参数计算隐藏变量（在这个例子中是Z的后验概率），在M步骤中，我们用这些后验概率更新参数估计。这两个步骤交替进行，直到参数估计收敛。 EM算法的收敛性是其关键特性之一，尽管并不保证全局最优，但能保证局部最优。在实际应用中，EM算法不仅用于参数估计，也广泛应用于聚类问题，如混合高斯模型（GMM）中的数据分配。 在聚类应用中，EM算法可以用来确定数据点属于各个类别的概率，以及类别的中心和协方差。在每轮迭代中，E步骤计算每个数据点属于每个类别的概率，M步骤则根据这些概率重新估计类别的参数。通过反复迭代，直到类别的参数不再显著变化，从而得到稳定的聚类结果。 EM算法是一个强大的工具，尤其适用于处理包含隐含变量的问题。通过对不完整数据的迭代处理，EM算法能够提供有效的参数估计，并在统计学和机器学习领域有着广泛的应用。