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第
35
卷第
5
期
2012
年
5
月
合肥工业大学学报(自然科学版)
JOURNAL
OF
HEFEI
UNIVERSITY
OF
TECHNOLOGY
Doi: 10.
3969/j.
issn. 1003-5060. 2012. 05. 030
循环矩阵分解的算子方法
黄潇,吴化璋
(合肥工业大学数学学院,安徽合肥
230009)
Vo
l.
35 NO.5
May
2012
摘
要:文章通过位移算子方法研究循环矩阵,首先从循环矩阵与
Toeplitz
矩阵的关系出发,给出有理函数生
成的循环矩阵的概念,得到循环矩阵的
Vanderrnonde
分解形式;其次,由循环矩阵与
Toeplitz-Bezout
矩阵的
关系给出循环矩阵的另一种位移算子表示,并证明了循环矩阵满足
Barnett
分解公式。
关键词:
Toeplitz
矩阵汀
oeplitz-
Bezout
矩阵;循环矩阵;位移算子
中图分类号
:015
1.
21
文献标识码
:A
文章编号
:1003-5060(2012)05-0704-04
Operator method for the factorization of circulant matrices
HUANG
Xiao,
WU
Hua-zhang
CSchool
of
Mathematics
,
Hefei
University
of
Technology
,
Hefei
230009
,
China)
Abstract:
In
this
paper
,
the
shift
operator
method
is applied
to
studying
the
circulant
matrices.
First
,
in
view of
the
relation
between
circulant
matrices
and
Toeplitz
matrices
,
the
concept
of
circulant
ma-
trices
generated
by
rational
functions
is
introduced
and
the 飞
landermonde
factorization
form
of
circu
lant
matrices
is obtained.
Second
, according
to
the
relation
between
circulant
matrices
and
Toeplitz-
Bezout
matrices
,
another
type
of
the
representation
of
circulant
matrices
with
the
shift
operator
is
got-
ten
,
and
the
Barnett'
s factorization
formula
for
circulant
matrices
is also verified.
Key words:
Topelitz
matrix;
Toeplitz-Bezout
matri
,
x;
circulant
matrix;
shift
operator
o
51
Toeplitz
矩阵和
Toeplitz-Bezout
矩阵是
2
类
特殊的结构矩阵,它们在系统的稳定性理论和控
制理论中有广泛的应用
[1-3J
。循环矩阵也是一种
特殊的结构矩阵,它可以被看作由一系列基本矩
阵生成的方阵,可通过一般方阵的经典分解方
法
[4J
进行分解,同时它与各种结构矩阵有密切的
联系
[5
一
η
,也可采用这些结构矩阵所特有的分解
方法进行分解。文章通过位移算子的方法∞研究
循环矩阵,获得了
Toeplitz
矩阵的飞
1
andermonde
分解和作为
Toeplitz-Bezout
矩阵的
Barnett
分
解,并将循环矩阵的分解方法进行了扩充,得到了
美观简洁的表达式,最后给出了
Barnett
分解的
收稿日期:
2011-09-19;
修回日期
:2011-11-14
基金项目:安徽省自然科学基金资助项目
0208085MA02)
作者简介:黄潇
0987
一)
,男,安徽合肥人,合肥工业大学硕士生;
一个数值例子。
1
预备知识
形如
I
ao
a
,,-
1 …
al
I
I
al
ao
…
a2
I
‘.
r
E … l
'…
t
La
,,-
1 a
n-
2 … aoJ
的矩阵称为循环矩阵,记作
circ(ao
,…
,
a
n
-l)
。
给定多项式
p(t)
、
q(t)
,
其中
degρ
(
t)
=
η
,
deg
q(t)~
η
,
ρ]
Ct)
=t
n
ρ
(C
1
)
表示
p(
t)
的倒易多
项式,由生成函数
Bω
=
p(t)
c!
(仁
fb
吴化璋
0966
一)
,男,安徽激州人,博士,合肥工业大学教授,硕士生导师.