分段三次多项式曲线曲面：逼近与插值的统一模型

"这篇论文研究了一种新的分段三次多项式曲线曲面，该曲面在多项式函数空间中通过构建含两组参数的混合函数来实现逼近与插值的统一。新方法基于四点分段，能形成张量积曲面。在特定条件下，这些曲线曲面可以转化为三次均匀B样条曲线曲面，同时保留B样条方法的局部性质、自动光滑性。此外，新曲线曲面具备局部形状可调性，并能在控制顶点的凸包内移动。通过调整混合函数中的参数，新曲面可以自动插值控制顶点，且插值后的形状仍保持局部可调性。论文中还给出了曲线曲面的实例展示。" 这篇研究论文探讨了如何将逼近和插值两种概念整合到一个模型中，具体是通过在多项式函数空间中构建含两组参数的混合函数。这种方法允许创建基于四点分段的多项式曲线和相应的张量积曲面，从而实现对数据的灵活表示。当混合函数的参数取特殊值时，生成的曲线曲面转换为三次均匀B样条曲线曲面，这是CAD（计算机辅助设计）领域常用的光滑曲线表示方法。 B样条曲线曲面以其局部控制和自动光滑性而受到青睐，新提出的模型不仅继承了这些优点，还增加了一项新的特性——局部形状可调性。这意味着设计师可以在不改变整体结构的情况下，微调曲线曲面的局部特征。通过限制混合函数的参数范围，新曲线曲面能够保持在由控制顶点构成的凸包内部，确保了曲线曲面的形状约束。 此外，研究者发现通过设置混合函数中一组参数的特定值，新曲线曲面可以自动插值所有非边界控制顶点。这在保留局部形状可调性的前提下，使得曲线曲面能够精确地通过给定点。这种插值能力对于数据拟合和形状建模有着重要的实际应用价值。 论文中包含的一些曲线曲面图例进一步证明了新方法的有效性和实用性。这些图形展示了新曲线曲面如何适应不同的形状需求，以及如何通过调整参数实现对插值点的精确控制。这一研究成果对于计算机辅助几何设计和计算数学领域的理论研究及应用开发都具有重要的参考价值。