新局部投影稳定法处理Oseen方程：高效克服对流伪振荡

本文主要探讨了一种针对Oseen方程的新型局部投影稳定化有限元方法，发表于2010年的学术期刊。Oseen方程是一种重要的流体力学模型，描述了非定常不可压缩流体的运动，但在工程实践中，混合有限元方法存在两个挑战：一是需要有限元空间满足离散的inf-sup稳定性，这通常要求P1/P0元素和低阶元不适用；二是当流动问题表现出对流占优特性时，即使使用inf-sup稳定（或Babuška-Brezzi稳定）的元素，如Pk/Pk-1三角形元（k>=2），也会导致数值解出现伪振荡，因为它们的局部自由度较多，计算成本较高。 文章提出的创新之处在于，速度和压力采用了inf-sup稳定的非协调Crouzeix-Raviart（CR）元进行逼近。CR元结合分片常数元具有良好的性质，包括满足inf-sup稳定性、局部守恒性和简洁的数据结构，这对于处理复杂流动问题是有利的。然而，传统的混合有限元方法在处理对流占优问题时，即使采用CR元，仍然难以避免伪振荡。 为了克服这个问题，文中引入了一种新的局部投影稳定化方法，其稳定性项仅限于子网格级别（H≥h），相比于RFB方法，这种方法更简单，能更好地抵抗对流占优的影响。作者通过实验证明，这种新方法能够得到与理论分析相一致的数值结果，这意味着在实际工程应用中，它可能提供更精确和稳定的解决方案。 此外，文章还提到了两种稳定化方法的类别：一类是基于最小二乘残差的方法，如SUPG、最小二乘法、RFB和最小二乘 Petrov-Galerkin方法，尽管这些方法理论上有效，但实践中常遇到微分近似困难和计算负担。另一类是非残差稳定化方法，如子网格粘性方法和局部投影方法，这类方法可能更符合实际应用的需求，但具体如何优于传统方法，文中给出了详细的比较和实证支持。 这篇论文不仅提出了一个新的局部投影稳定化有限元方法，而且在解决Oseen方程对流占优问题上提供了有效的策略，为数值模拟中的流动问题提供了新的理论依据和技术手段。