非线性方程组迭代解法详解：牛顿法、LM方法与拟牛顿法

非线性方程组迭代解法是一门深入研究解决非线性系统中的未知变量关系的数学工具。本讲义由马昌凤编著，适合初学者和专业人士，于2018年8月7日发布。内容涵盖了非线性分析的基础理论、非线性方程组的可解性、迭代法的基本原理、以及多种具体解法如牛顿法、LM方法、拟牛顿法和非精确牛顿法。 在第一部分，非线性分析理论基础部分介绍了非线性问题的实例，强调了矩阵代数的重要性，包括向量和矩阵的范数、谱半径和摄动引理。有限维凸分析是后续讨论的核心，涵盖了连续性和可微性的概念，中值定理、二阶导数以及凸泛函的性质。此外，还深入探讨了非线性优化问题的最优性条件，针对不同类型的约束（无约束、等式约束、不等式约束和混合约束）给出了相应的最优解条件。 第二章开始讲述非线性迭代的基本理论，包括压缩映射和同胚映射、反函数定理和隐函数定理，这些都是理解迭代过程的关键。不动点定理与迭代法的介绍，以及迭代法的收敛性理论，包括如何构造迭代格式、评估收敛性和速度，以及如何提高迭代法的效率和选择合适的收敛准则。 第三章详述了著名的牛顿法，包括算法构建、局部收敛性分析以及其变种，如修正牛顿法和参数牛顿法。牛顿法的半局部收敛性也是这一章节的重点。 第四章转向其他解法，如高斯-牛顿法和LM方法，它们在求解非线性方程组时表现出良好的收敛性。全球LM方法和信赖域LM方法提供了更全面的解决方案，而高阶LM方法则进一步提升了解题精度。 第五章介绍拟牛顿法，这是另一种强大的迭代技术，包括秩1和秩2拟牛顿法，以及全局Broyden方法，这些方法对于非精确数据处理表现出优势。 最后，第六章讨论非精确牛顿法，它允许在计算过程中容忍一定程度的误差，通过控制阈值和策略来保持算法的有效性。非精确牛顿-SOR方法是对传统牛顿法的一种扩展，适用于计算资源有限或数值稳定性要求高的场景。 这本书为学习者提供了一个全面的非线性方程组迭代解法体系，无论你是初次接触该领域的学生还是寻求进阶知识的专业人士，都能从中获益匪浅。通过理解和应用这些理论和方法，你将能够有效地解决实际问题中的复杂非线性系统。