斯坦福Boyd与UCLA Vandenberghe教授的向量、矩阵与最小二乘法讲义概要

在"向量、矩阵与最小二乘法：应用线性代数导论"的讲座幻灯片中，作者Stephen Boyd和Lieven Vandenberghe以深入浅出的方式介绍了数学在机器学习中的基础概念。这门课程作为斯坦福大学EE103和加州大学洛杉矶分校EE133A课程的主要教材，由剑桥大学出版社出版，旨在帮助学生理解基本的数学工具。 首先，讲座从向量的概念入手。向量被定义为有序的数值列表，可以表示为一个矩阵或数组，如上例中的列向量，包含四个元素（-1.1, 0.0, 3.6, -7.2），每个数值称为向量的分量或系数。向量的大小或维度是指其元素数量，例如上述向量的维度为4。一个有n个元素的向量通常被称为n维向量，比如n-向量。这里的向量通常用符号如a、X、p、β或者E来表示，其中的a3代表向量a的第三个分量。 符号系统中，用下标i来标识向量中的元素，例如在a向量中，a_i表示第i个元素。对于一个n维向量，i的取值范围从1到n。值得注意的是，有时候i可能指的是向量列表中的第i个向量，这可能导致混淆，因此在讨论中需要明确指明。 矩阵和向量的运算包括基本的加法和标量乘法。向量的加法是对应位置的元素相加，而标量乘法则是将一个标量（数字）与整个向量的每个元素相乘。内积（也称点积或标量积）是两个向量之间的一种特殊运算，它计算的是对应元素的乘积之和，并且在计算时要求向量的维度相等。 最小二乘法是这部分内容的核心，它是一种优化技术，在许多机器学习问题中用于拟合数据，通过找到最佳拟合直线或曲线来最小化实际数据与预测之间的误差。这个方法在处理线性回归、特征工程和模型训练中扮演着关键角色。 向量、矩阵和最小二乘法的学习是理解机器学习算法的基础，这些概念包括向量的表示、运算规则、内积的意义以及如何通过最小化误差来解决实际问题。掌握这些数学工具不仅对理论学习至关重要，也是应用于实际工程项目的必备技能。通过Boyd和Vandenberghe的教材，学生能够建立起扎实的数学基础，从而在机器学习的道路上稳步前行。