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高等数学(第7章空间解析几何与向量代数)
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更新于2023-07-24
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1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算; 2、两个向量垂直和平行的条件; 3、平面方程和直线方程; 4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件; 5、点到直线以及点到平面的距离; 6、常用二次曲面的方程及其图形; 7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程; 8、空间曲线的参数方程和一般方程。
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高等数学教案 §7 空间解析几乎与向量代数
第七章 空间解析几何与向量代数
教学目的:
1、理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示。
2、掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积),掌握两个向量垂直和平行的
条件。
3、 理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式,熟练掌握用坐标表达式进
行向量运算的方法。
4、 掌握平面方程和直线方程及其求法。
5、 会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角,并会利用平面、直线的相
互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。
6、 会求点到直线以及点到平面的距离。
7、 理解曲面方程的概念,了解常用二次曲面的方程及其图形,会求以坐标轴为旋转
轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
8、 了解空间曲线的参数方程和一般方程。
9、 了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求其方程。
教学重点:
1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算;
2、两个向量垂直和平行的条件;
3、平面方程和直线方程;
4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件;
5、点到直线以及点到平面的距离;
6、常用二次曲面的方程及其图形;
7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程;
8、空间曲线的参数方程和一般方程。
教学难点:
1、向量积的向量运算及坐标运算;
2、平面方程和直线方程及其求法;
3、点到直线的距离;
4、二次曲面图形;
5、旋转曲面的方程;
1
高等数学教案 §7 空间解析几乎与向量代数
§7. 1 向量及其线性运算
一、向量概念
向量 在研究力学、物理学以及其他应用科学时, 常会遇到这样一类量, 它们既有大小, 又有方
向. 例如力、力矩、位移、速度、加速度等, 这一类量叫做向量.
在数学上, 用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量. 有向线段的长度表示向量的大 小,
有向线段的方向表示向量的方向.
向量的符号
以 A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作 . 向量可用粗体字母表示, 也可用上
加箭头书写体字母表示, 例如, a、r、v、F 或 、 、 、 .
自由向量 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向, 所以在数学上我们只研究与起点无关
的向量, 并称这种向量为自由向量, 简称向量. 因此, 如果向量 a 和 b 的大小相等, 且方向相同, 则
说向量 a 和 b 是相等的, 记为 a = b. 相等的向量经过平移后可以完全重合.
向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、 、 的模分别记为|a|、 、 .
单位向量 模等于 1 的向量叫做单位向量.
零向量 模等于 0 的向量叫做零向量, 记作 0 或 . 零向量的起点与终点重合, 它的方向可以
看作是任意的.
向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行. 向量 a 与 b 平行,
记作 a // b. 零向量认为是与任何向量都平行.
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平
行又称两向量共线.
类似还有共面的概念. 设有 k(k³3)个向量, 当把它们的起点放在同一点时, 如果 k 个终点和公共
起点在一个平面上, 就称这 k 个向量共面.
二、向量的线性运算
1.向量的加法
向量的加法 设有两个向量 a 与 b, 平移向量使 b 的起点与 a 的终点重合, 此时从 a 的起点到 b
的终点的向量 c 称为向量 a 与 b 的和, 记作 a+b, 即 c=a+b .
三角形法则
上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则.
平行四边形法则
当向量 a 与 b 不平行时, 平移向量使 a 与 b 的起点重合, 以 a、b 为邻边作一平行四边形, 从公共
起点到对角的向量等于向量 a 与 b 的和 a+b.
2
高等数学教案 §7 空间解析几乎与向量代数
向量的加法的运算规律
(1)交换律 a+b=b+a
(2)结合律(a+b)+c=a+(b+c).
由于向量的加法符合交换律与结合律, 故 n 个向量 a
1
, a
2
, × × ×, a
n
(n ³3)相加可写成
a
1
+a
2
+ × × ×+a
n
,
并按向量相加的三角形法则, 可得 n 个向量相加的法则如下: 使前一向量的终点作为次一向量的
起点, 相继作向量 a
1
, a
2
, × × ×, a
n
, 再以第一向量的起点为起点, 最后一向量的终点为终点作一向
量, 这个向量即为所求的和.
负向量
设 a 为一向量, 与 a 的模相同而方向相反的向量叫做 a 的负向量, 记为-a.
向量的减法
我们规定两个向量 b 与 a 的差为
b-a=b+(-a).
即把向量-a 加到向量 b 上, 便得 b 与 a 的差 b-a.
特别地, 当 b=a 时, 有
a-a=a+(-a)=0.
显然, 任给向量 及点 O, 有
,
因此, 若把向量 a 与 b 移到同一起点 O, 则从 a 的终点 A 向 b 的终点 B 所引向量 便是向量 b
与 a 的差 b-a .
三角不等式
由三角形两边之和大于第三边的原理, 有
|a+b|£|a|+|b|及|a-b|£|a|+|b|,
其中等号在 b 与 a 同向或反向时成立.
3
b
-
-
b
a
-
b
a
c
A
B
C
A
B
C
b
a
D
c
高等数学教案 §7 空间解析几乎与向量代数
2.向量与数的乘法
向量与数的乘法的定义:
向量 a 与实数的乘积记作
a, 规定
a 是一个向量, 它的模|
a|=|
||a|, 它的方向当
>0 时与 a 相
同, 当
<0 时与 a 相反.
当
=0 时, |
a|=0, 即
a 为零向量, 这时它的方向可以是任意的.
特别地, 当
=1 时, 有
1a=a, (-1)a=-a.
运算规律
(1)结合律
(
a)=
(
a)=(
)a;
(2)分配律 (
+
)a=
a+
a;
(a+b)=
a+
b.
例 1. 在平行四边形 ABCD 中, 设 =a, =b.
试用 a 和 b 表示向量 、 、 、 , 其中 M 是平行四边形对角线的交点.
解 由于平行四边形的对角线互相平分, 所以
a+b , 即 -(a+b) ,
于是 (a+b).
因为 , 所以 (a+b).
又因-a+b , 所以 (b-a).
由于 , 所以 (a-b).
例 1 在平行四边形 ABCD 中, 设 , . 试用 a 和 b 表
示向量 、 、 、 , 其中 M 是平行四边形对角线的交点.
解 由于平行四边形的对角线互相平分, 所以
,
于是 .
4
A
B
C
D
M
a
b
A
B
C
D
M
a
b
高等数学教案 §7 空间解析几乎与向量代数
因为 , 所以
向量的单位化
设 a0, 则向量 是与 a 同方向的单位向量, 记为 e
a
.
于是 a=|a|e
a
.
向量的单位化
设 a0, 则向量 是与 a 同方向的单位向量, 记为 e
a
.
于是 a = | a | e
a
.
定理 1 设向量 a 0, 那么, 向量 b 平行于 a 的充分必要条件是
存在唯一的实数
, 使 b =
a.
证明 条件的充分性是显然的, 下面证明条件的必要性.
设 b // a. 取 , 当 b 与 a 同向时
取正值, 当 b 与 a 反向时
取负值, 即 b=
a. 这是因为此
时 b 与
a 同向, 且
|
a|=|
||a| .
再证明数
的唯一性. 设 b=
a, 又设 b=
a, 两式相减, 便得
(
-
)a=0, 即|
-
||a|=0.
因|a|0, 故|
-
|=0, 即
=
.
给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴. 设点 O 及单位向量 i 确定了数轴 Ox, 对于轴上
任一点 P, 对应一个向量 , 由 //i, 根据定理 1, 必有唯一的实数 x, 使 =xi(实数 x 叫做
轴上有向线段 的值), 并知 与实数 x 一一对应. 于是
点 P向量 = xi实数 x ,
从而轴上的点 P 与实数 x 有一一对应的关系. 据此, 定义实数 x 为轴上点 P 的坐标.
由此可知, 轴上点 P 的坐标为 x 的充分必要条件是
= xi .
三、空间直角坐标系
在空间取定一点 O 和三个两两垂直的单位向量 i、j、k, 就确定了三条都以 O 为原点的两两垂
直的数轴, 依次记为 x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴), 统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角
坐标系, 称为 Oxyz 坐标系.
注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位
(2)通常把 x 轴和 y 轴配置在水平面上, 而 z 轴则是铅垂线
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chengq2008
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