线性代数基础：求解二维线性方程组

"中文翻译《Introduction to Linear Algebra, 5th Edition》2.1节，主要讲解线性代数中求解线性方程组的概念，包括行图和列图的表示，以及线性方程组的几何意义。" 在本章节中，作者详细介绍了线性代数的基础——线性方程组的解决方法。线性方程组的特点是未知数仅与常数相乘，不涉及变量之间的乘法。作为示例，作者给出了一个简单的线性方程组： x - 2y = 1 3x + 2y = 11 这个方程组包含两个方程和两个未知数。在线性代数中，这种问题可以通过图形方法直观地理解。每个方程代表二维空间中的一个直线，通过绘制这两个直线，我们可以找到它们的交点，这个交点就是方程组的解。 首先，作者讨论了行图，即从方程的行出发构建图形。例如，第一个方程x - 2y = 1在xy平面上表示一条直线，这条直线的斜率为1/2，因为它表示当x增加2时，y增加1。通过选择不同的x值，可以确定对应y值，例如，x = 1时，y = 0；x = 3时，y = 1；甚至x = 101时，y = 50。这些点都在直线上。 图2.1展示了这两条直线，它们的交点是x = 3, y = 1，这个点同时满足两个方程，因此它是方程组的解。 接下来，作者转向列图的讨论，这是另一种表示线性方程组的方法。将方程组视为向量方程，即将每一列看作一个向量。例如，给定的方程组可以写成： x[1 3] + y[-2 2] = [1 11] 这里的向量表示了方程的系数。目标是找到x和y的值，使得左边两个向量的线性组合等于右边的目标向量b。通过选择x = 3和y = 1，我们可以验证这个组合确实等于b。 图2.2进一步展示了列图的概念，其中列向量被组合起来以构成目标向量。乘以标量（一个数）是线性代数的基本操作，这里3乘以第一列向量相当于将该向量的每个元素都乘以3。 2.1节介绍了线性代数中求解线性方程组的基本思想，强调了行图和列图在理解方程组几何意义上的作用。通过实例和图形，读者能够直观地理解如何找到方程组的解，并为后续更复杂的线性代数概念奠定了基础。